問題#Ⅰ001 問題#Ⅰ001 ★☆☆☆ a1=37、an+1=(an)7 (n=1,2,3,⋯) により定義される数列{an}の一般項anの下一桁の数字を求めよ。 《ポイント》 下一桁の数字は mod10 で調べます。漸化式で定義される整数列の剰余は循環するので、まずは周期性を調べましょう。 《解答例》 a1=37=(9)3⋅3≡(−1)3⋅3(mod10)=−3≡7(mod10) よってa1の下一桁の数字は7である。ここで a1≡7(mod10) であることに注意すると、 a2≡77(mod10)=(49)3⋅7≡(−1)3⋅7(mod10)=−7≡3(mod10) よってa2の下一桁の数字は3である。全く同様にしてa3、a4、⋯ の下一桁の数字を求めることができるから、一般項anの下一桁の数字は、 nが奇数のとき7、nが偶数のとき3 となる。 《コメント》 合同式では a≡b のとき an≡bn が成り立ちます。本問では37をどんどん7乗していくだけなので、数列の問題というほどでもありません。合同式の指数計算になると途端に手が止まってしまう人が多いので、簡単な問題や具体例などで慣れておきましょう。 （出典：筑波大1976年） 戻る
