問題#Ⅰ002 ★★☆☆
自然数$n$に対して、$7^n$の一の位を$a_n$で表すとき、次の問いに答えよ。
（１）$a_{99}$を求めよ。
（２）$-n^2+2n a_{n}$ の最大値およびそのときの$n$を求めよ。
《ポイント》
本問も下一桁の数字が題材になっていますので当然 $\bmod{10}$ の出番です。
《解答例》
（１）
$7^1=7$、$7^2=49$、$7^3=343$、$7^4=2401$、$7^5=16807$、$\cdots$ となるから$a_n$は周期$4$で$7,9,3,1$を循環する。したがって$$a_{99}=a_{4 \cdot 24+3}=a_3=3$$となる。
（答）$\color{red}{a_{99}=3}$
（２）
$b_n=-n^2+2n a_{n}$ と置くと、$b_{n}=-(n-a_{n})^2+{a_{n}}^2$ であり、大きい$n$で$b_n$は負の値を取るから、 $0 \leqq n \leqq 2a_{n}$ の範囲で調べれば十分である。以下、$m$を正の整数とする。
（ア）$n=4m-3$ のとき $b_n=-n^2+14n$ となる。$n=1,5,9,13$ のうち、これを最大にするのは $n=9,13$ のときで、最大値は$45$である。
（イ）$n=4m-2$ のとき $b_n=-n^2+18n$ となる。$n=2,6,10,14,18$ のうち、これを最大にするのは $n=10$ のときで、最大値は$80$である。
（ウ）$n=4m-1$ のとき $b_n=-n^2+6n$ となる。これを最大にするのは $n=3$ のときで、最大値は$9$である。
（エ）$n=4m$ のとき $b_n=-n^2+2n$ となる。これを最大にするのは $n=0$ のときで、最大値は$0$である。
以上より$b_n$の最大値は、$n$が$10$のとき、最大値$80$となる。
（答）$\color{red}{80 \ (n=10)}$
《コメント》
剰余の周期性と二次関数を絡めた問題でした。計算ミスのないようにしておきたいですね。
（出典：熊本大学1989年）