問題#Ⅰ010

問題#Ⅰ010　★★☆☆

自然数$n$に対して、$a_n=3n^2+28n+30$、$b_n=3n+24$ とする。$a_n$と$b_n$の最大公約数を$D_n$とし、$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{D}_k}$ とする。

（１）$D_1$、$D_2$、$D_3$と$D_6$を求めよ。

（２）$S_{12}$と$S_{20}$を求めよ。

（３）$S_n$が$60$の倍数となる、$100$以下の自然数$n$をすべて求めよ。

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《ポイント》

前問に続き、数列の最大公約数に関する問題ですが、こちらは実質的に多項式の互除法の問題です。互除法でミスなく次数下げできれば悩むような部分はありません。

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《解答例》

（１）

まず、一般の$n$について$a_n$と$b_n$の最大公約数$D_n$を考える。$\mathrm{GCD}(a,b)$で２整数$a$、$b$の最大公約数を表すことにすると、$$\begin{array}{rl}{D}_n& =\mathrm{GCD}(a_n,b_n)\\ & =\mathrm{GCD}(3n^2+28n+30,3n+24)\\ & =\mathrm{GCD}(3n^2+28n+30-(n+1)(3n+24),3n+24)\\ & =\mathrm{GCD}(n+6,3n+24)\\ & =\mathrm{GCD}(n+6,3n+24-3(n+6))\\ & =\mathrm{GCD}(n+6,6)\\ & =\mathrm{GCD}(n+6-1\cdot 6,6)\\ & =\mathrm{GCD}(n,6)\end{array}$$となる。これより$$D_1=1,D_2=2,D_3=3,D_6=6$$と求められる。

（答）$D_1=1,D_2=2,D_3=3,D_6=6$

 

（２）

$D_n=\mathrm{GCD}(n,6)$ より、$D_n$は周期$6$で $1,2,3,2,1,6$ の値をとるため、$n$を$6$で割ったときの商を$m$、余りを$r$とすると、$S_n$は$$S_n=S_{6m+r}=15m+S_r$$と表すことができる（ただし $S_0=0$ とする）。したがって$S_{12}$と$S_{20}$はそれぞれ、$$S_{12}=15\cdot 2=30$$ $$S_{20}=15\cdot 3+S_2=45+3=48$$と求められる。

（答）$S_{12}=30,S_{20}=48$

 

（３）

$S_0=0$、$S_1=1$、$S_2=3$、$S_3=6$、$S_4=8$、$S_5=9$、$S_6=15$ となるから、$S_n$、即ち $15m+S_r$ が$60$の倍数となるには、$m=4k$ かつ $r=0$ が必要となる。この条件を満たす自然数$n$のうち$100$以下のものは$24$、$48$、$72$、$96$である。

（答）$24$、$48$、$72$、$96$

 

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《コメント》

解答例では$n$を$mod6$で考えています。（３）のような問題では$n$を余りで分類して$S_n$を顕わに式化した方が、解答の見通しが良くなることが多いです。

（出典：大阪教育大学(後期) 2016年）

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