問題#Ⅰ019

問題#Ⅰ019　★★★☆

$n$を自然数とする。次の各問に答えよ。

（１）自然数$k$は $2\leqq k\leqq n$ を満たすとする。$9^k$を$10$進法で表したときのけた数は、$9^{k-1}$のけた数と等しいか、または$1$だけ大きいことを示せ。

（２）$9^{k-1}$と$9^k$のけた数が等しいような $2\leqq k\leqq n$ の範囲の自然数$k$の個数を$a_n$とする。$9^n$のけた数を$n$と$a_n$を用いて表せ。

（３）${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_n}{n}}}$ を求めよ。

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《ポイント》

漠然とした問題ですが、桁数に関する問題は不等関係から証明していくのが常道です。（３）はオマケのような問題で、発想力を必要とするのは（２）です。問題文中で与えられた$a_n$をどのように数式に反映させるかがポイントとなります。桁数を表す数列を自分で用意すると議論しやすくなります。

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《解答例》

（１）

$9^{k-1}$（$2\leqq k\leqq n$）の桁数を$N$とすると$${10}^{N-1}<9^{k-1}<{10}^N$$が成り立つ。この各辺に$9$を掛けると$$9\cdot {10}^{N-1}<9^k<9\cdot {10}^N$$ $$\therefore \cdot {10}^{N-1}<9^k<\cdot {10}^{N+1}$$が成り立つ。これより、$9^k$の桁数は$N$、若しくは$N+1$である。よって$9^k$を$10$進法で表したときの桁数は、$9^{k-1}$の桁数と等しいか、または$1$だけ大きい。

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（２）

$9^k$の桁数を$d_k$とすると、$n\geqq 2$ のとき$$\begin{array}{rl}& b_n\\ & =b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+\cdots +(b_n-b_{n-1})\\ & =1+\sum _{k=2}^n(b_k-b_{k-1})\end{array}$$と表せる。$a_n$の定義および（１）の結果より、$2\leqq k\leqq n$ の範囲で

$b_k-b_{k-1}=0$ となる$k$の個数は $a_n$

$b_k-b_{k-1}=1$ となる$k$の個数は $n-1-a_n$

であるから、$$\begin{array}{rl}& b_n\\ & =1+\{1\cdot (n-1-a_n)+0\cdot a_n\}\\ & =n-a_n\end{array}$$となる。よって$9^n$のけた数は$$n-a_n$$と表せる。

 

（３）

（２）より、$${10}^{n-a_n-1}<9^n<{10}^{n-a_n}$$が成り立つ。この各辺に対して常用対数をとると$$n-a_n-1<n{\log }_{10}9<n-a_n$$ $$\therefore 1-{\log }_{10}9-{\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{a_n}{n}}<1-{\log }_{10}9$$となる。

ここで$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-{\log }_{10}9-{\displaystyle \frac{1}{n}})=1-{\log }_{10}9$$であるから、はさみうちの原理より、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_n}{n}}=1-2{\log }_{10}3$$を得る。

 

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《コメント》

（２）が本問の難所ですが、実際には（１）で示した事実に基づいて桁数を求めるだけです。解答例では数列を持ち出してやや仰々しく議論していますが、もう少し単純な解答で済ませても良いでしょう。

（出典：神戸大学(後期) 1998年）

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