復習例題1.1.3
$a>0$ のとき、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{a}{n} \right)^n=e^a$を示せ。
《ポイント》
文字を置き換えて $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n=\displaystyle \lim_{t \to +0} \left( 1 + t \right)^{\frac{1}{t}}=e$$ にうまく持ち込みます。
《解答例》
$t=\dfrac{a}{n}$ と置くと、$$\begin{align} & \ \ \ \ \ \left( 1 + \dfrac{a}{n} \right)^n \\ &= \left( 1 + t \right)^{\frac{a}{t}} \\ &= \left\{\left( 1 + t \right)^{\frac{1}{t}}\right\}^a \end{align}$$と式変形できる。ここで、$$\displaystyle \lim_{t \to +0} \left( 1 + t \right)^{\frac{1}{t}}=e$$であり、$n \to \infty$ のとき、$a>0$ より $t=\dfrac{a}{n} \to +0$ となる。
これより、$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{a}{n} \right)^n = \lim_{t \to +0} \left\{\left( 1 + t \right)^{\frac{1}{t}}\right\}^a=e^a$$となる。
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