復習例題2.1.1b
次の関数の導関数を求めよ。
（１）$\dfrac{1}{\sin ^{\frac{3}{2}}(x)}$
（２）$2 \arcsin \sqrt{\dfrac{x+1}{2}}$
（３）$\sqrt{\dfrac{\arcsin x}{x^{2}+1}}$
《ポイント》
$\arcsin$は教科書中の$\sin ^{-1}$と同じ意味です。逆三角関数の微分公式は覚えておくと良いでしょう。もちろん、定義から導出できるようにしておくに越したことはありません。
《（１）解答例 》
$\begin{aligned}
&\ \ \ \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{\sin ^{\frac{3}{2}}x}\right] \\
&=\dfrac{3}{2} \sin ^{-\frac{3}{2}-1}x \cdot \dfrac{d}{dx}[\sin x] \\
&=-\dfrac{3 \cos x}{2 \sin ^{\frac{5}{2}}x} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}
\end{aligned}$
《（２）解答例 》
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left( 2 \arcsin \sqrt{\dfrac{x+1}{2}} \right) \\ &=2\left(\sqrt{\dfrac{x+1}{2}} \right)^{´} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1- \left( \sqrt{\dfrac{x+1}{2}} \right)^2}} \\
&=2 \cdot \dfrac{1}{4\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1-x}{2}}} \\ &=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
《（３）解答例 》
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left( \sqrt{\dfrac{\arcsin x}{x^{2}+1}}\, \right) \\ &=\dfrac{d}{dx} \left( \left(\dfrac{\arcsin x}{x^{2}+1}\right)^{\frac{1}{2}} \right) \\ &=\left(\dfrac{\arcsin x}{x^{2}+1}\right)^{´} \cdot \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\arcsin x}{x^{2}+1}\right)^{-\frac{1}{2}} \quad \cdots ① \end{align}$
ここで、
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{\arcsin x}{x^{2}+1} \right) \\ &=\dfrac{(\arcsin x)’ \cdot (x^2+1)-\arcsin x \cdot (x^2+1)’}{(x^2+1)^2} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot (x^2+1)-\arcsin x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
\end{align}$
であるから
$\begin{align} ① &=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot (x^2+1)-\arcsin x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \cdot \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\arcsin x}{x^{2}+1}\right)^{-\frac{1}{2}}\\
&=\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^4}\sqrt{\arcsin x}}-\dfrac{x\sqrt{\arcsin x}}{\left(x^2+1\right)^\frac{3}{2}}\ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$