微積3.1.1b

$\displaystyle \int \dfrac{x}{(1+x^2)^3} dx$

$1+x^2=t$と置くと、$xdx=\dfrac{1}{2} dt$であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{x}{(1+x^2)^3} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{t}^3 \cdot \dfrac{1}{2} dt \\
&=-\frac{1}{4} t^{-2}+C \\
&=-\frac{1}{4} (1+x^2)^{-2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

〈別解〉

$x= \tan ⁡ \theta $ と置くと、$dx=\dfrac{1}{\cos^2 ⁡ \theta} d \theta $ であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{x}{(1+x^2)^3} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{\tan⁡ \theta }{(1+ \tan ^2⁡ \theta )^3} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 ⁡ \theta} d \theta \\
&=\displaystyle \int \sin ⁡\theta \cos ^3⁡ \theta d \theta \\
&-\displaystyle \int ( \cos ⁡ \theta )’ \cos ^3⁡ \theta d \theta \\
&=-\frac{1}{4} \cos^{4}⁡ \theta +C \\
&=-\frac{1}{4} \left(\dfrac{1}{\tan ^2⁡ \theta +1} \right)^2+C \\
&=-\frac{1}{4} (1+x^2)^{-2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

（６）

$\displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2+2x+2}$

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2+2x+2} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+1} \end{align}$

ここで$x+1=t$と置くと、$dx=dt$であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+1} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{dt}{t^2+1} \\
&=\tan ^{-1} t+C \\
&= \tan ^{-1} (x+1)+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

〈別解〉

$x+1= \tan ⁡ \theta $ と置くと、$dx=\dfrac{1}{\cos^2 ⁡ \theta} d \theta $ であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2+2x+2} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+1} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{\tan ^2⁡ \theta +1} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 ⁡ \theta} d \theta \\
&=\theta +C \\
&=\tan ^{-1} (x+1)+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

（７）

$\displaystyle \int \dfrac{\sin ⁡x}{\cos ^{3}x} dx$

$\cos ⁡x=t$と置くと、 $\sin ⁡x dx=-dt$ であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{\sin ⁡x}{\cos ^{3}x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{-1}{t^3} dt \\
&=\dfrac{1}{2} t^{-2}+C \\
&=\dfrac{1}{2 \cos^{2}x}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

〈別解〉

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{\sin ⁡x}{\cos ^{3}x} dx \\
&=-\displaystyle \int \dfrac{( \cos ⁡x )’}{\cos ^{3}x} dx \\
&=-\dfrac{1}{2} \displaystyle \int \left(\frac{1}{\cos^{2}x} \right)’ dx \\
&=\dfrac{1}{2 \cos^{2}x}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

（８）

$\displaystyle \int \sin ^{-1}⁡x dx$

$\sin ^{-1}⁡x= \theta $ と置くと、$x= \sin ⁡ \theta $ なので、

$\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=d \theta $ は即ち $dx= \cos ⁡ \theta d \theta $ であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \theta \cos ⁡ \theta d \theta \\
&= \theta \sin ⁡ \theta -\displaystyle \int \sin \theta d \theta +C’ \\
&= \theta \sin ⁡ \theta + \cos ⁡ \theta +C \\
&=x \sin ^{-1}⁡x+\sqrt{1-x^2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

〈別解〉

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \sin ^{-1}⁡x dx \\
&=x \sin ^{-1}⁡x-\displaystyle \int x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx+C’ \end{align}$

$x= \sin ⁡ \theta $ と置くと、$dx= \cos ⁡ \theta d \theta $ であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \\
&=\displaystyle \int \sin ⁡ \theta \cdot \dfrac{1}{\cos⁡ \theta} \cdot \cos⁡ \theta d \theta \\
&=- \cos ⁡ \theta +C'{}’ \\
&=-\sqrt{1-x^2}+C'{}’ \end{align}$

よって

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \sin ^{-1}⁡x dx \\
&=x \sin ^{-1}⁡x+\sqrt{1-x^2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

（注）

$\displaystyle \int \dfrac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$ の計算は $1-x^2=t$ などと置いても可能です。

復習例題未設定