微積復習例題3.1.2b

復習例題3.1.2b

定積分${\displaystyle {\int }_1^2\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}dx}$の値を求めよ。

《ポイント》

何を置換すればよいかが見えれば一直線です。ただし被積分関数の符号に注意。

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《解答例》

$x-1=y^2$ と置くと、$dx=2ydy$ であり積分区間は $y:0\to 1$ となるから$${\displaystyle \begin{array}{rl}& {\int }_1^2\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}dx\\ & =2{\int }_0^{1}y\sqrt{1+y^2-2y}dy\\ & =2{\int }_0^{1}y\sqrt{{(y-1)}^2}dy\\ & =2{\int }_0^{1}y|y-1|dy\\ & =2{\int }_0^{1}y(1-y)dy\\ & =2{[{\displaystyle \frac{1}{2}}{y}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}{y}^3]}_0^1\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}}$$より、求める値は

$${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdots \cdots \text{(答)}$$

となる。

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