微積4.2.7

$u=x+y$、$v=x-y$ より、$$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}(u+v) \\ y=\dfrac{1}{2}(u-v) \end{cases}$$となるので$$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial u} &=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial u}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial u} \\
&=f_x \cdot \dfrac{1}{2} +f_y \cdot \dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{1}{2}(f_x+f_y) \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial v} &=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial v}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial v} \\
&=f_x \cdot \dfrac{1}{2} +f_y \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}(f_x-f_y) \end{align}$$と表せる。

（２）

まず必要性（$\Longrightarrow$）を示す。

$z=g(x+y)$ と書けるとき、$f_x=g^{\prime}(x+y)$、$f_y=g^{\prime}(x+y)$ となるので、$$f_x(x,y)=f_y(x,y)$$が成り立つ。よって必要であることが示された。

次に十分性（$\Longleftarrow$）を示す。

$f_x(x,y)=f_y(x,y)$ が成り立つとき、$u=x+y$、$v=x-y$ と変数変換を施すと（１）の結果より、$$\dfrac{\partial z}{\partial v}=0$$となる。これより、関数$z$は変数$v$によらず$u$のみに依存する関数となる。即ち、このとき $z=f(x,y)$ はある１変数関数$g(t)$を用いて $z=g(u)$、つまり$$z=g(x+y)$$と書き直すことができる。

以上より、$z=f(x,y)$ が１変数の関数$g(t)$を用いて、$z=g(x+y)$ と書ける必要十分条件は、$$f_x(x,y)=f_y(x,y)$$であることが示された。