微積5.3.1

有向曲線$C$は$$\begin{cases}x=-t \\ y=2+t\end{cases}\ (t:-1 \to 1)$$と表せるから、$dx=-dt$、$dy=dt$ であり、$$\begin{align} \displaystyle \int_C x^2dx&=-\int^{1}_{-1} t^2dt \\ &=-2\int^{1}_{0} t^2dt \\ &=-\left[\dfrac{2}{3}t^{3}\right]^{1}_{0} \\ &=-\dfrac{2}{3} \end{align}$$ $$\begin{align} \displaystyle \int_C 2xy\ dy&=\int^{1}_{-1} 2(-t)(2+t)\ dt \\ &=-2\int^{1}_{-1} (2t+t^2)\ dt \\ &=-4\int^{1}_{0} t^2\ dt \\ &=-4\left[\dfrac{1}{3}t^{3}\right]^{1}_{0} \\ &=-\dfrac{4}{3} \end{align}$$となる。故に$$\begin{align} \displaystyle \int_C x^2dx+2xy\ dy &=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3} \\ &=-2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$

（２）$\displaystyle \int_C xy\ dx+e^{x^2}dy$　$C:y=x^2$　向き：$(0,0) \to (2,4)$

有向曲線$C$は$$\begin{cases}x=t \\ y=t^2\end{cases}\ \ (t:0 \to 2)$$と表せるから、$dx=dt$、$dy=2tdt$ であり、$$\begin{align} \displaystyle \int_C xy\ dx&=\int^{2}_{0} t^3dt \\ &=\left[\dfrac{1}{4}t^{4}\right]^{2}_{0} \\ &=4 \end{align}$$ $$\begin{align} \displaystyle \int_C e^{x^2}dy&=\int^{2}_{0} 2te^{t^2}dt \\ &=\int^{2}_{0} (e^{t^2})^{\prime}\ dt \\ &=\left[e^{t^2}\right]^{2}_{0} \\ &=e^4-1 \end{align}$$となる。故に$$\begin{align} \displaystyle \int_C xy\ dx+e^{x^2}dy &=4+e^4-1 \\ &=e^4+3 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$

（３）$\displaystyle \int_C y^2dx+x^2dy$　$C:x=\cos t$、$y=\sin t$

有向曲線$C$は$$C:x=\cos t、y=\sin t$$で定義されるから、$dx=-\sin t\ dt$、$dy=\cos t\ dt$ であり、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle \int_C y^2dx+x^2dy \\ &=\int^{\pi}_{0} (-\sin^3 t +\cos^3 t)dt \\ &=\int^{\pi}_{0} (\cos t-\sin t)(\cos^2 t+\cos t\sin t+\sin^2 t)dt \\ &=\int^{\pi}_{0} (\cos t-\sin t)(1+\cos t\sin t)dt \\ &=\int^{\pi}_{0} (\cos t-\sin t+\cos^2 t\sin t-\cos t\sin^2 t )dt \\ &=\left[\sin t+\cos t-\dfrac{1}{3}\cos^3 t-\dfrac{1}{3}\sin^3 t\right]^{\pi}_{0} \\ &=-2+\dfrac{2}{3} \\ &=-\dfrac{4}{3} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。