培風館『入門微分積分』第5章・問題5.3.2の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題5.3.2
（１）$\displaystyle \int_C (e^x+y)dx+(y^4+x^3)dy$
（２）$\displaystyle \int_C (y^3-y)dx+(3y^2 x-x)dy$
解法の要点
《グリーンの定理》
$P(x,y)$、$Q(x,y)$が有界閉領域$D$で$C^1$級関数のとき$$\int_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_{D}\left(\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\dfrac{\partial P(x,y)}{\partial y}\right)dxdy$$が成り立つ。
解答例
グリーンの定理より、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle \int_C (e^x+y)dx+(y^4+x^3)dy \\ &=\iint_D \left(\dfrac{\partial(x^3+y^4)}{\partial x}-\dfrac{\partial(e^x+y)}{\partial y}\right)dxdy \\ &=\iint_D (3x^2-1)dxdy \\ &=\int^{2\pi}_{0}d\theta \int^{1}_{0} (3r^2\cos^2\theta-1)rdr \ \left(\because \begin{cases} x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{cases}\right)\\ &=\int^{2\pi}_{0} \left(\dfrac{3}{4}\cos^2\theta-\dfrac{1}{2}\right)d\theta \\ &=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} 3\cos^2\theta\ d\theta-\int^{2\pi}_{0}\dfrac{1}{2}d\theta \\ &=3\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot 2\pi \\ &=-\dfrac{\pi}{4} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
（２）$\displaystyle \int_C (y^3-y)dx+(3y^2 x-x)dy$
グリーンの定理より、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \int_C (y^3-y)dx+(3y^2 x-x)dy \\ &=\iint_D \left(\dfrac{\partial(3y^2 x-x)}{\partial x}-\dfrac{\partial(y^3-y)}{\partial y}\right)dxdy \\ &=\iint_D (3y^2-1-3y^2+1)dxdy \\ &=0 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。