問題6.1.1
$\displaystyle \sum a_n$ が収束すれば、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=0$ であることを示せ。
《ポイント》
$\displaystyle \sum a_n$ という書き方は不明瞭なので、ここでは $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} a_n$ が収束するとして考えます。本問は級数が収束することの定義から証明可能です。極限 $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} a_n$ の値を文字で置くとスッキリ証明できます。
《解答例》
$A_n=\displaystyle \sum^{n}_{k=0} a_k$ と置き、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n = A$ と置く。このとき自然数$N$に対し、$N<n$ なら $|A-A_n|<\varepsilon$ となるような正の実数$\varepsilon$が任意にとれる。
よって$$\begin{align} |a_{n+1}|= & \left|A_{n+1}-A_{n}\right| \\ =& \left|A_{n+1}-A+A-A_{n}\right| \\ \leqq&\left|A_{n+1}-A\right|+\left|A-A_{n}\right| \\ <&2 \varepsilon \end{align}$$が成り立つから、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=0$ となる。
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復習例題は設定していません。