問題6.1.2
級数の比較を用いて次を示せ（$a_n>0$、$b_n>0$）。
（１）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n$ が収束すれば、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n^k \ (k \geqq 1)$ も収束する。
（２）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n$ が収束すれば、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \sqrt{a_n a_{n+1}}$ も収束する。
（３）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n$、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} b_n$ が収束すれば、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n b_n$ も収束する。
《ポイント》
問題6.1.1の内容を踏まえて解答します。（２）と（３）は発想がやや難しいです。上手い不等式を見つけて証明しましょう。
《解答例》
（１）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n$ が収束すれば、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n^k \ (k \geqq 1)$ も収束する。
$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n$ が収束すれば、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=0$ である（前問参照）から、十分大きな$n$に対して $a_n \leqq 1$ が成り立つ。これより $a_n^k \leqq a_n$ が成り立つから、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n^k$ は収束する。
※最後の部分について、有限個の$n$を除いて $a_n \leqq b_n$ かつ $\displaystyle \sum b_n$ が収束するならば $\displaystyle \sum a_n$ も収束する、という定理6.1.5を利用しています。
（２）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n$ が収束すれば、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \sqrt{a_n a_{n+1}}$ も収束する。
$$\begin{align} & \frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}-\sqrt{a_{n} a_{n+1}} \\ =& \frac{(\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{n+1}})^{2}}{2}(>0)\end{align}$$より、$$\sqrt{a_{n} a_{n+1}} \leqq \frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}$$である。いま $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n$ および $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_{n+1}$ は収束するから、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \sqrt{a_n a_{n+1}}$ も収束する。
（３）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n$、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} b_n$ が収束すれば、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n b_n$ も収束する。
$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n$、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} b_n$ が収束するならば、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n^2$、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} b_n^2$ も収束する（問題（１）参照）。$a_n>0$、$b_n>0$ であるから相加平均・相乗平均の不等関係より、$$a_n b_n \leqq \dfrac{a_n^2+b_n^2}{2}$$が成り立つ。これより、$$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n b_n \leqq \dfrac{1}{2}\left( \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n^2 + \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} b_n^2\right)$$が成り立つから、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a_n b_n$ も収束する。
※相加相乗平均の不等関係を利用できる形に持ち込みました。
復習例題は設定していません。