問題6.1.3
つぎの級数の収束、発散を調べよ（コーシーの判定法を用いよ）。
（１）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=2} \left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{n^2}$
（２）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n^2}2^{-n}$
（３）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \left(\dfrac{n}{n+2}\right)^{n^2}e^n$
（４）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a^{n^2}b^n$（$a,b>0$）
《ポイント》
コーシーの判定法は
① 有限個の$n$を除いて $\sqrt[n]{a_n} \leqq r$ となるような実数 $r<1$ が存在するならば $\displaystyle \sum^{\infty} a_n$ は収束する。
② $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = r$ が存在するとき、$r<1$ ならば $\displaystyle \sum^{\infty} a_n$ は収束し、$r>1$ ならば発散する。
の2タイプがあります。どちらが適切かは数列によって変わります。
《解答例》
（１）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=2} \left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{n^2}$
$a_n=\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{n^2}$ と置くと、$$\sqrt[n]{a_n}=\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{n}$$となるから$$\begin{align} &\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \\ =& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-n} \\ =& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-(n-1)}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-1} \\ =& \frac{1}{e}<1 \end{align}$$となる。よってコーシーの判定法により、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=2} \left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{n^2}$は収束する。
※注：自然対数の底$e$に収束する式になるように式変形しています。また、当たり前ですが、$$\sqrt[n]{a_n}=\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{n^2/n}=\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{n}$$です。
（２）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n^2}2^{-n}$
$a_n=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n^2}2^{-n}$ と置くと、$$\begin{align} &\sqrt[n]{a_n} \\ =& \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n} \\ =& \dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} \end{align}$$となるから$$\begin{align} &\lim _{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \\ =& \dfrac{1}{2}\lim _{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} \\ =& \frac{e}{2}>1 \end{align}$$となる。よってコーシーの判定法により、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=2} \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n^2}2^{-n}$は発散する。
（３）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \left(\dfrac{n}{n+2}\right)^{n^2}e^n$
$a_n=\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^{n^2}e^n$ と置くと、$$\begin{align} &\sqrt[n]{a_n} \\ =& e\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^{n} \\ =& e\left(1-\dfrac{2}{n+2}\right)^{n} \end{align}$$となるから$$\begin{align} &\lim _{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \\ =& e\lim _{n \to \infty}\left(1-\dfrac{2}{n+2}\right)^{n} \\ =& e\lim _{n \to \infty}\left\{\left(1-\dfrac{2}{n+2}\right)^{-(n+2)/2}\right\}^{-2} \\ =& e \cdot e^{-2} \\ =& \frac{1}{e}<1 \end{align}$$となる。よってコーシーの判定法により、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \left(\dfrac{n}{n+2}\right)^{n^2}e^n$は収束する。
（４）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a^{n^2}b^n$（$a,b>0$）
$a_n=a^{n^2}b^n$ と置くと、$$\sqrt[n]{a_n} = a^n \cdot b$$となるから、
$a<1$ のとき$\displaystyle \lim _{n \to \infty} a^n \cdot b = 0$、
$a=1$ のとき$\displaystyle \lim _{n \to \infty} a^n \cdot b = b$、
$a>1$ のとき$\displaystyle \lim _{n \to \infty} a^n \cdot b = \infty$
となる。よってコーシーの判定法により、$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a^{n^2}b^n$は $a<1$ のとき収束、$a=1$ で $b<1$ ならば収束、$a=1$ で $b \geqq 1$ ならば発散、 $a>1$ のとき発散する。
※ $a=1$ で $b \geqq 1$ のときは各項が$1$以上になるので発散します。
復習例題は設定していません。