問題6.1.4
つぎの級数の収束、発散を調べよ（ダランベールの判定法を用いよ）。
（１）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{1}{n!}$
（２）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{n^n}{n!}$
（３）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} n\sin\dfrac{\pi}{2^n}$
（４）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{{n!}^2}{(2n)!}$
（５）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{(a+1)(2a+1)\cdots(na+1)}{(b+1)(2b+1)\cdots(nb+1)}$（$a,b>0$）
《ポイント》
ダランベールの判定法は
① 有限個の$n$を除いて $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqq r$ となるような実数 $r<1$ が存在するならば $\displaystyle \sum^{\infty} a_n$ は収束する。
② $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = r$ が存在するとき、$r<1$ ならば $\displaystyle \sum^{\infty} a_n$ は収束し、$r>1$ ならば発散する。
の2タイプがあります。コーシーの判定法も含めて、適切に使い分けられるようにしましょう！
《解答例》
（１）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{1}{n!}$
$a_n=\dfrac{1}{n!}$ と置くと、$$\begin{align} &\displaystyle \lim _{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \\ =& \lim _{n \to \infty}\dfrac{1/(n+1)!}{1/n!} \\ =& \lim _{n \to \infty}\dfrac{1}{n+1} \\ =& 0\ (<1) \end{align}$$より、収束する。
（２）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{n^n}{n!}$
$a_n=\dfrac{n^n}{n!}$ と置くと、$$\begin{align} &\displaystyle \lim _{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \\ =& \lim _{n \to \infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^{n}/n!} \\ =& \lim _{n \to \infty}\dfrac{(n+1)^n}{n^n} \\ =& \lim _{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \\ =& e\ (>1) \end{align}$$となるから、発散する。
（３）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} n\sin\dfrac{\pi}{2^n}$
$a_n=n\sin\dfrac{\pi}{2^n}$ と置くと、$$\begin{align} &\displaystyle \lim _{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \\ =& \lim _{n \to \infty}\dfrac{n+1}{n} \cdot \dfrac{\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}{\sin\dfrac{\pi}{2^{n}}} \\ =& \lim _{n \to \infty}\dfrac{n+1}{n} \cdot \dfrac{\sin\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}{\dfrac{\pi}{2^{n+1}}} \cdot \dfrac{\dfrac{\pi}{2^{n}}}{\sin\dfrac{\pi}{2^{n}}}\cdot \dfrac{1}{2} \\ =& 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2} \\ =& \dfrac{1}{2}\ (<1) \end{align}$$となるから、収束する。
（４）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{{n!}^2}{(2n)!}$
$a_n=\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}$ と置くと、$$\begin{align} &\displaystyle \lim _{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \\ =& \lim _{n \to \infty}\dfrac{\{(n+1)!\}^2/(2n+2)!}{(n!)^2/(2n)!} \\ =& \lim _{n \to \infty}\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} \\ =& \dfrac{1}{4}\ (<1) \end{align}$$より、収束する。
（５）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{(a+1)(2a+1)\cdots(na+1)}{(b+1)(2b+1)\cdots(nb+1)}$（$a,b>0$）
$a_n=\dfrac{(a+1)(2a+1)\cdots(na+1)}{(b+1)(2b+1)\cdots(nb+1)}$ と置くと、$$\begin{align} &\lim _{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \\ =&\displaystyle \lim _{n \to \infty}\dfrac{(n+1)a+1}{(n+1)b+1} \\ =& \dfrac{a}{b} \end{align}$$となる。よって、
$a<b$ のとき収束、
$a=b$ のとき $a_n=1$ となり発散、
$a>b$ のとき各項が$1$より大きくなるから発散する。
復習例題は設定していません。