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問題6.1.6

$a_n>0$、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0}$、$a_1\geqq a_2\geqq a_3\geqq \cdots$ ならば、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{a}_n}$ は収束することを示し、これを用いて、$1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots$ は収束することを示せ。

 

《ポイント》

交代級数の基本は項番号の偶奇で別々に数列を考えることです。仮定がやや多いので、議論の飛躍や論拠の混乱が無いように証明しましょう。

因みに、$$1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots$$という数列は「メルカトル級数」と呼ばれ、その極限値は $\log 2$ となることが知られています。

 

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《解答例》

（補題の証明）

${\displaystyle A_N=\sum _{n=1}^N(-1{)}^{n+1}{a}_n}$ と置くと、$$\{\begin{array}{ll}{A}_{2N-1}& =(a_1-a_2)+\cdots +a_{2N-1}\\ A_{2N}& =(a_1-a_2)+\cdots +(a_{2N-1}-a_{2N})\end{array}$$となる。$a_{2N-1}-a_{2N}\geqq 0$ および $a_1\geqq a_2\geqq a_3\geqq \cdots$ より、数列$A_{2N}$は単調増加数列であり、$A_{2N}\leqq a_1$ であるから$A_{2N}$は有界である。よって$A_{2N}$は上に有界な単調増加数列であるから、ある極限値$S$に収束する。

また、$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_{2N-1}}\\ =& \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(A_{2(N-1)}+a_{2N-1})\\ =& \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_{2(N-1)}+\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{2N-1}\\ =& S+0\\ =& S\end{array}$$となるから、${\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_N=S}$ である。したがって、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{a}_n}$ は収束する。

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$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$ と置くと、$a_n>0$、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0}$、$a_1\geqq a_2\geqq a_3\geqq \cdots$ を満たす。よって補題より、このとき ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{a}_n}$ は収束するから、$1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots$ は収束する。

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復習例題は設定していません。

 

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