問題6.2.3
つぎの関数を$f(x)$とするとき、$f^{(n)}(0)$を整級数展開を用いて求めよ。
（１）$x^2\log(1+x)$
（２）$(1+x)e^{x^2}$
（３）$\tan^{-1}(2x)$
（４）$\dfrac{x^2}{x^2-x-2}$
《ポイント》
整級数展開がマスターできていれば特に問題無いでしょう。関数によっては次数の低い初めの何項かが欠落していることがあるので注意です。
《解答例》
（１）$x^2\log(1+x)$
$\log(1+x)$の整級数展開は$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} x^{n}$となるから、$$\begin{align} & x^2\log(1+x) \\
=& x^2\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} x^{n} \\
=& \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} x^{n+2} \\
=& \displaystyle \sum^{\infty}_{\color{red}{n=3}} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n-2} x^{n} \end{align}$$となる。ここで、$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}$$であるから、$n \leqq 2$ のとき $f^{(n)}(0)=0$、$n \geqq 3$ のとき$$\dfrac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n-2} x^{n}$$より、$f^{(n)}(0)=\dfrac{(-1)^{n+1}n!}{n-2}$ と求められる。
（答）$n \leqq 2$ のとき $f^{(n)}(0)=0$、
$n \geqq 3$ のとき $f^{(n)}(0)=\dfrac{(-1)^{n+1}n!}{n-2}$
（２）$(1+x)e^{x^2}$
$e^x$の整級数展開は$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{1}{n!} x^{n}$となるから、$$\begin{align} & (1+x)e^{x^2} \\
=& (1+x)\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{1}{n!} x^{2n} \\
=& \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{1}{n!} x^{2n} + \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{1}{n!} x^{2n+1} \end{align}$$となる。ここで、$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}$$であるから、$n = 2m$ のとき$$\dfrac{f^{(2m)}(0)}{(2m)!}=\dfrac{1}{m!}$$より、$\color{red}{f^{(2m)}(0)=\dfrac{(2m)!}{m!}} \ \ \ \cdots (\text{答})\ $ と求められる。
また、$n = 2m+1$ のとき$$\dfrac{f^{(2m+1)}(0)}{(2m+1)!}=\dfrac{1}{m!}$$より、$\color{red}{f^{(2m+1)}(0)=\dfrac{(2m+1)!}{m!}} \ \ \ \cdots (\text{答})\ $ と求められる。
（３）$\tan^{-1}(2x)$
$$\begin{align}
&\ \ \ \ \ \tan ^{-1}(2 x) \\
&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}(2 x)^{2 n+1} \\
&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2 n+1}}{2 n+1} x^{2 n+1} \\
&=0+2 x+0 \cdot x^{2}-\frac{2^{3}}{3} x^{3}+0 \cdot x^{4}-\cdots
\end{align}$$より、$n=2 m$ のとき$$f^{(2m)}(0)=\color{red}{0} \ \ \ \cdots (\text{答})$$、$n=2 m+1$ のとき$$\begin{align} f^{(2m+1)}(0) &= \dfrac{(-1)^{m} 2^{2 m+1}}{2 m+1}(2 m+1)! \\ &=\color{red}{(-1)^{m} 2^{2 m+1}(2 m)!} \ \ \ \cdots (\text{答}) \end{align}$$
※ $\tan ^{-1}(2 x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}(2 x)^{2 n+1}$ となることは次のように示されます。
等比級数に関する基本的な公式である$$\frac{1}{1-X}=\sum_{n=0}^{\infty} X^{n} \quad(|X|<1)$$において$X$を$-X^2$で置き換えると、$$\frac{1}{1+X^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} X^{2 n} \quad(|X|<1)$$となり、この式の両辺を $0$ から $X(|X|<1)$ まで積分すると$$\tan ^{-1} X=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} X^{2 n+1} \quad(|X|<1)$$が得られます。これに $X=2x$ を代入して$$\tan ^{-1}(2 x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}(2 x)^{2 n+1}$$を得ます。
（４）$\dfrac{x^2}{x^2-x-2}$
$$\begin{align}
&\ \ \ \ \ \frac{x^{2}}{x^{2}-x-2} \\
&=\frac{x^{2}}{(x-2)(x+1)} \\
&=\frac{x^{2}}{3}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{1+x}\right) \\
&=\frac{x^{2}}{3}\left(-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n}\right) \\
&=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{2^{n+1}}-(-1)^{n}\right) x^{n+2} \\
&=\sum_{\color{red}{n=2}}^{\infty} \frac{1}{3}\left((-1)^{n+1}-\frac{1}{2^{n-1}}\right) x^{\color{red}{n}}
\end{align}$$より、$n=0,\ 1$ のとき$$f^{(n)}(0)=\color{red}{0\ \ \ \cdots (\text{答})}$$ $n \geqq 2$ のとき $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=\dfrac{1}{3}\left((-1)^{n+1}-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)$ より、$$\begin{align} f^{(n)}(0) &= \color{red}{\frac{n!}{3}\left((-1)^{n+1}-\frac{1}{2^{n-1}}\right)\ \ \ \cdots (\text{答})} \end{align}$$
※ 教科書の解答では負号が前に出してありますが、上の解答と同じです。
復習例題は設定していません。