問題6.2.4
次の関数の与えられた点における整級数展開を求めよ。
（１）$\dfrac{x+1}{x^{2}+3 x}$（$x=1$）
（２）$\cos x$（$x=\dfrac{\pi}{3}$）
《ポイント》
$x=a$ における整級数展開を求める際は $t=x-a$ などと置き換えて展開します。
《解答例》
（１）$\dfrac{x+1}{x^{2}+3 x}$（$x=1$）
$x-1=t$ とおくと$$\begin{align}
&\ \ \ \ \ \frac{x+1}{x^{2}+3 x} \\
&=\frac{2}{3(t+4)}+\frac{1}{3(t+1)} \\
&=\frac{1}{6} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-t}{4}\right)^{n}+\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty}(-t)^{n} \\
&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{6}\left(2+\frac{1}{4^{n}}\right) t^{n} \\
&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{6}\left(2+\frac{1}{4^{n}}\right)(x-1)^{n} \ \ \ \cdots (\text{答})
\end{align}$$
（２）$\cos x$（$x=\dfrac{\pi}{3}$）
$x-\dfrac{\pi}{3}=t$ とおくと$$\begin{align}
&\ \ \ \ \ \cos x \\
&=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \\
&=\frac{\cos t-\sqrt{3} \sin t}{2} \\
&=\frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} t^{2 n}-\sqrt{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} t^{2 n+1}\right) \\
&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2(2 n) !}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^{2 n}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \sqrt{3}}{2(2 n+1) !}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^{2 n+1} \ \ \ \cdots (\text{答})
\end{align}$$
復習例題は設定していません。