微積7.1.2a

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問題7.1.2a

次の微分方程式を解け（変数分離形およびその応用）。

（１）$y^{\prime }=x^{2}y$

（２）$x{y}^{\prime }+y=2xy$

（３）$y^{\prime }={\displaystyle \frac{y}{x(x+1)}}$

（４）$y^{\prime }={\displaystyle \frac{1+y}{1-x}}$

《ポイント》

次の形の微分方程式を変数分離形の微分方程式と言います。$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(x)g(y)$$変数分離形の微分方程式の解は$$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+c$$で与えられます。ここで $c$ は任意にとれる定数で、初期条件を与えれば決まります。このように任意定数を含む解を一般解と言い、初期条件を与えて決まる解を特殊解と言います。

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《解答例》

（１）$y^{\prime }=x^{2}y$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x^{2}y$ であるから ${\displaystyle \frac{dy}{y}}=x^{2}dx$ となる。これより$$\int \frac{1}{y}dy=\int x^{2}dx+C$$となる。両辺の積分を実行して、$$\begin{array}{rl}\log |y|& ={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+C^{\prime }\\ \therefore y& =\pm e^{\frac{x^3}{3}+C^{\prime }}\\ & =c{e}^{\pm \frac{x^3}{3}}\cdots (\text{答})\end{array}$$ただし、$c=e^{C^{\prime }}$ と置いた。

 

（２）$x{y}^{\prime }+y=2xy$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x-1}{x}}y$ であるから ${\displaystyle \frac{dy}{y}}={\displaystyle \frac{2x-1}{x}}dx$ となる。これより$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{y}}dy=\int (2-{\displaystyle \frac{1}{x}})dx+C}$$となる。両辺の積分を実行して、$$\begin{array}{rl}\log |y|& =2x-\log |x|+C\\ \therefore y& ={\displaystyle \frac{c{e}^{2x}}{x}}\cdots (\text{答})\end{array}$$ただし、$c=e^C$ と置いた。

 

（３）$y^{\prime }={\displaystyle \frac{y}{x(x+1)}}$

${\displaystyle \frac{dy}{y}}=({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}})dx$ より、両辺の積分を実行して、$$\begin{array}{rl}\log |y|& =\log |x|-\log |x+1|+C\\ & =\log \left|\frac{x}{x+1}\right|+C\end{array}$$よって、$$|y|=e^C\left|{\displaystyle \frac{x}{x+1}}\right|$$となる。$c$が任意の実数をとるとすると、$$\therefore y={\displaystyle \frac{cx}{x+1}}\cdots (\text{答})$$を得る。

 

（４）$y^{\prime }={\displaystyle \frac{1+y}{1-x}}$

${\displaystyle \frac{dy}{1+y}}={\displaystyle \frac{dx}{1-x}}$ より、両辺の積分を実行して、$\log |1+y|=-\log |1-x|+C$ を得る。これより、$$|y+1|=\frac{e^C}{|1-x|}$$となるから、$c$を任意の実数として$$y+1=\frac{c}{1-x}$$と表せる。これより$$y=\frac{(c-1)+x}{1-x}$$となり、$c-1$ を $c^{\prime }$ と置き直すことにより、$$\therefore y={\displaystyle \frac{c^{\prime }+x}{1-x}}\cdots (\text{答})$$を得る。

 

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復習例題は設定していません。

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