微積7.1.2a

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問題7.1.2a

次の微分方程式を解け(変数分離形およびその応用)。

(1)y=x2y

(2)xy+y=2xy

(3)y=yx(x+1)

(4)y=1+y1x

《ポイント》

次の形の微分方程式を変数分離形の微分方程式と言います。dydx=f(x)g(y)変数分離形の微分方程式の解は1g(y)dy=f(x)dx+cで与えられます。ここで c は任意にとれる定数で、初期条件を与えれば決まります。このように任意定数を含む解を一般解と言い、初期条件を与えて決まる解を特殊解と言います。


《解答例》

(1)y=x2y

dydx=x2y であるから dyy=x2dx となる。これより1ydy=x2dx+Cとなる。両辺の積分を実行して、log|y|=x33+Cy=±ex33+C=ce±x33()ただし、c=eC と置いた。

 

(2)xy+y=2xy

dydx=2x1xy であるから dyy=2x1xdx となる。これより1ydy=(21x)dx+Cとなる。両辺の積分を実行して、log|y|=2xlog|x|+Cy=ce2xx()ただし、c=eC と置いた。

 

(3)y=yx(x+1)

dyy=(1x1x+1)dx より、両辺の積分を実行して、log|y|=log|x|log|x+1|+C=log|xx+1|+Cよって、|y|=eC|xx+1|となる。cが任意の実数をとるとすると、y=cxx+1()を得る。

 

(4)y=1+y1x

dy1+y=dx1x より、両辺の積分を実行して、log|1+y|=log|1x|+C を得る。これより、|y+1|=eC|1x|となるから、cを任意の実数としてy+1=c1xと表せる。これよりy=(c1)+x1xとなり、c1c と置き直すことにより、y=c+x1x()を得る。

 


復習例題は設定していません。


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