問題7.1.5
次の微分方程式は完全微分形であることを確かめて解け。
（１）$(-x+y+2)dx+(x-y+1)dy=0$
（２）$(e^x+2xy+2y^2)dx+(x^2+4xy+3)dy=0$
（３）$(\sin y+3x^2-1)dx+(x \cos y+2y^3)dy=0$
《ポイント》
微分方程式$$(\dagger) \quad P(x, y) d x+Q(x, y) d y=0$$は、次の関係をみたす関数 $F(x,y)$ が存在するとき、完全微分形であると言います。$$F_x(x,y)=P(x,y),\quad F_y(x,y)=Q(x,y)$$
完全微分形の方程式
（１）方程式 $(\dagger)$ が完全微分形ならば、その解は $F(x,u)=c$（$c$：定数）で与えられる
（２）方程式 $(\dagger)$ が完全微分形である必要十分条件は$$P_y(x,y)=Q_x(x,y)$$
与えられた微分方程式を $P(x, y) d x+Q(x, y) d y=0$ と表し、$F_x(x,y)=P(x,y)$、$F_y(x,y)=Q(x,y)$ となる関数$F(x,y)$を求めれば $F(x,y)=0$ が解となります。詳しい計算手順は教科書中の定理の証明を参考にして下さい。
《解答例》
（１）$(-x+y+2)dx+(x-y+1)dy=0$
$P(x, y)=-x+y+2$、$Q(x, y)=x-y+1$ と置くと$$P_y(x,y)=Q_x(x,y)=1$$となるので、完全微分形である。$$\begin{aligned}
F(x, y) &=\int_{0}^{x} P(s, 0) d s+\int_{0}^{y} Q(x, t) d t \\
&=\int_{0}^{x}(-s+2) d s+\int_{0}^{y}(x-t+1) d t \\
&=\left[-\frac{s^{2}}{2}+2 s\right]_{0}^{x}+\left[x t-\frac{t^{2}}{2}+t\right]_{0}^{y} \\
&=-\frac{x^{2}}{2}+2 x+x y-\frac{y^{2}}{2}+y
\end{aligned}$$よって求める解は$$-\frac{x^{2}}{2}+2 x+x y-\frac{y^{2}}{2}+y=c \quad \cdots (\text{答})$$となる。ただし、$c$ は任意の実数である。
（２）$(e^x+2xy+2y^2)dx+(x^2+4xy+3)dy=0$
$P(x, y)=e^x+2xy+2y^2$、$Q(x, y)=x^2+4xy+3$ と置くと$$P_y(x,y)=Q_x(x,y)=2x+4y$$となるので、完全微分形である。$$\begin{aligned}
F(x, y) &=\int_{0}^{x} P(s, 0) d s+\int_{0}^{y} Q(x, t) d t \\
&=\int_{0}^{x} e^{s} d s+\int_{0}^{y}\left(x^{2}+4 x t+3\right) d t \\
&=\left[e^{s}\right]_{0}^{x}+\left[x^{2} t+2 x t^{2}+3 t\right]_{0}^{y} \\
&=e^{x}-1+x^{2} y+2 x y^{2}+3 y
\end{aligned}$$よって求める解は$$e^{x}-1+x^{2} y+2 x y^{2}+3 y=c_1$$ $$\therefore e^{x}+x^{2} y+2 x y^{2}+3 y=c \quad \cdots (\text{答})$$となる。ただし、$c\,(=c_1+1)$ は任意の実数である。
（３）$(\sin y+3x^2-1)dx+(x \cos y+2y^3)dy=0$
$P(x, y)=\sin y+3x^2-1$、$Q(x, y)=x \cos y+2y^3$ と置くと$$P_y(x,y)=Q_x(x,y)=\cos y$$となるので、完全微分形である。$$\begin{aligned}
F(x, y) &=\int_{0}^{x} P(s, 0) d s+\int_{0}^{y} Q(x, t) d t \\
&=\int_{0}^{x}\left(3 s^{2}-1\right) d s+\int_{0}^{y}\left(x \cos t+2 t^{3}\right) d t \\
&=\left[s^{3}-s\right]_{0}^{x}+\left[x \sin t + \frac{1}{2} t^{4}\right]_{0}^{y} \\
&=x^{3}-x+x \sin y+\frac{1}{2} y^{4}
\end{aligned}$$よって求める解は$$x^{3}-x+x \sin y+\frac{1}{2} y^{4}=c \quad \cdots (\text{答})$$となる。ただし、$c$ は任意の実数である。
復習例題は設定していません。