問題7.2.2a
次の関数を求めよ。
（１）$\dfrac{1}{D^2-D}e^{2x}$
（２）$\dfrac{1}{D(D+1)}e^{-x}$
（３）$\dfrac{1}{(D-1)(D-2)}xe^{x}$
（４）$\dfrac{1}{D^2+2D-8}e^{2x}$
（５）$\dfrac{1}{D(D-2)(D-3)}e^{2x}$
（６）$\dfrac{1}{D-2}xe^{2x}$
《ポイント》
$$\frac{1}{D-a} q(x)=e^{a x} \int e^{-a x} q(x) d x$$ $$\small{\frac{1}{D^{2}+a^{2}} q(x)=\frac{1}{a}\left(\sin a x \int q(x) \cos a x d x-\cos a x \int q(x) \sin a x d x\right)}$$ $$\frac{1}{F(D)} q(x)=e^{a x} \frac{1}{F(D+a)}\left(e^{-a x} q(x)\right)$$などの関係式は重要です。
$F(a) \neq 0$ ならば$$\frac{1}{F(D)} e^{a x}=\frac{1}{F(a)} e^{a x}$$となります。また、$q(x)$ が $n$ 次の多項式のとき$$\small{\frac{1}{1-a D} q(x)=\left\{1+(a D)+(a D)^{2}+\cdots+(a D)^{n}\right\} q(x)}$$が成り立ちます。
《解答例》
（１）$\dfrac{1}{D^2-D}e^{2x}$
$$\begin{aligned} \frac{1}{D^{2}-D} e^{2 x} &=\frac{1}{2^{2}-2} e^{2 x} \\ &=\frac{1}{2} e^{2 x}\quad \cdots (\text{答}) \end{aligned}$$
（２）$\dfrac{1}{D(D+1)}e^{-x}$
$$\begin{align} \frac{1}{D(D+1)} e^{-x} &=\frac{1}{D+1}\left(-e^{-x}\right) \\ &=-e^{-x} \int e^{x} \cdot e^{-x} d x \\ &=-x e^{-x} \quad \cdots (\text{答}) \end{align}$$
（３）$\dfrac{1}{(D-1)(D-2)}xe^{x}$
$$\begin{align} &\ \ \ \ \ \frac{1}{(D-1)(D-2)} x e^{x} \\ &=\left(\frac{1}{D-2}-\frac{1}{D-1}\right) x e^{x} \\ &=e^{2 x} \int e^{-2 x} x e^{x} d x-e^{x} \int e^{-x} x e^{x} d x \\ &=e^{2 x}\left(-x e^{-x}+\int e^{-x} d x\right)-\frac{x^{2}}{2} e^{x} \\ &=-x e^{x}-e^{x}-\frac{x^{2}}{2} e^{x} \\ &=-\frac{1}{2}\left(x^{2}+2 x+2\right) e^{-x} \quad \cdots (\text{答}) \end{align}$$
（４）$\dfrac{1}{D^2+2D-8}e^{2x}$
$$\begin{align} &\ \ \ \ \
\frac{1}{D^{2}+2 D-8} e^{2 x} \\ &=\frac{1}{(D-2)(D+4)} e^{2 x} \\ &=\frac{1}{D-2} \frac{1}{D+4} e^{2 x} \\
&=\frac{1}{6} \frac{1}{D-2} e^{2 x} \\ &=\frac{1}{6} e^{2 x} \int d x \\ &=\frac{1}{6} x e^{2 x} \quad \cdots (\text{答}) \end{align}$$
（５）$\dfrac{1}{D(D-2)(D-3)}e^{2x}$
$$\begin{align}
&\ \ \ \ \ \frac{1}{D(D-2)(D-3)} e^{2 x} \\ &=\frac{1}{D-2} \frac{1}{D(D-3)} e^{2 x} \\ &=-\frac{1}{2} \frac{1}{D-2} e^{2 x} \\
&=-\frac{1}{2} e^{2 x} \int e^{-2 x} e^{2 x} d x \\
&=-\frac{1}{2} x e^{2 x} \quad \cdots (\text{答}) \end{align}$$
（６）$\dfrac{1}{D-2}xe^{2x}$
$$\begin{align} &\ \ \ \ \ \frac{1}{D-2} x e^{2 x} \\ &=e^{2 x} \int e^{-2 x} x e^{2 x} d x \\ &=\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} \quad \cdots (\text{答}) \end{align}$$
復習例題は設定していません。