問題7.2.2b
次の関数を求めよ。
（７）$\dfrac{1}{D-1}\sin x$
（８）$\dfrac{1}{(D-1)(D-2)}\cos 2x$
（９）$\dfrac{1}{(D+1)}(x^2+x-1)$
（１０）$\dfrac{1}{(D+1)(D-2)}(x^2-x)$
《ポイント》
$$\frac{1}{D-a} q(x)=e^{a x} \int e^{-a x} q(x) d x$$ $$\small{\frac{1}{D^{2}+a^{2}} q(x)=\frac{1}{a}\left(\sin a x \int q(x) \cos a x d x-\cos a x \int q(x) \sin a x d x\right)}$$ $$\frac{1}{F(D)} q(x)=e^{a x} \frac{1}{F(D+a)}\left(e^{-a x} q(x)\right)$$などの関係式は重要です。
$F(a) \neq 0$ ならば$$\frac{1}{F(D)} e^{a x}=\frac{1}{F(a)} e^{a x}$$となります。また、$q(x)$ が $n$ 次の多項式のとき$$\small{\frac{1}{1-a D} q(x)=\left\{1+(a D)+(a D)^{2}+\cdots+(a D)^{n}\right\} q(x)}$$が成り立ちます。
《解答例》
（７）$\dfrac{1}{D-1}\sin x$
$$\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ \frac{1}{D-1} \sin x \\ &=e^{x} \int e^{-x} \sin x d x \\
&=-\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)\quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$
（８）$\dfrac{1}{(D-1)(D-2)}\cos 2x$
$$\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ \frac{1}{(D-1)(D-2)} \cos 2 x \\ &=\left(\frac{1}{D-2}-\frac{1}{D-2}\right) \cos 2 x \\
&=e^{2 x} \int e^{-2 x} \cos 2 x d x-e^{x} \int e^{-x} \cos 2 x d x \\
&=\frac{1}{4}(\sin 2 x-\cos 2 x)-\frac{1}{5}(2 \sin 2 x-\cos 2 x) \\
&=-\frac{1}{20}(3 \sin 2 x+\cos 2 x) \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$
（９）$\dfrac{1}{(D+1)}(x^2+x-1)$
$$\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ \frac{1}{D+1}\left(x^{2}+x-1\right) \\ &=\left(1-D+D^{2}\right)\left(x^{2}+x-1\right) \\
&=\left(x^{2}+x-1\right)-(2 x+1)+2 \\ &=x^{2}-x \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$
（１０）$\dfrac{1}{(D+1)(D-2)}(x^2-x)$
$$\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ \frac{1}{(D+1)(D-2)}\left(x^{2}-x\right) \\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{D-2}-\frac{1}{D+1}\right)\left(x^{2}-x\right) \\
&=\frac{1}{3}\left(\frac{-1}{2} \frac{1}{1-D / 2}-\frac{1}{1+D}\right)\left(x^{2}-x\right) \\
&=\frac{1}{3}\left\{\frac{-1}{2}\left(1+\frac{D}{2}+\left(\frac{D}{2}\right)^{2}\right)-1+D-D^{2}\right\}\left(x^{2}-x\right) \\
&=-\frac{x^{2}}{2}+x-1 \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$
復習例題は設定していません。