問題7.2.4
次の微分方程式を与えられた初期条件の下で解け。
（１）$(D-2)(D+3)y=e^{3x}$、$y(0)=1$、$y'(0)=0$
（２）$(D^2-2D-3)y=e^{-x}$、$y(0)=0$、$y'(0)=0$
（３）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2y=x$、$y(0)=1$、$y'(0)=0$
《ポイント》
線形微分方程式$$F(D)y=q(x)$$の一般解は、斉次微分方程式$$F(D)y=0$$の一般解と$$F(D)y=q(x)$$の特殊解の和で与えられます。解を求める手順は問題7.2.3と同じです。
《解答例》
（１）$(D-2)(D+3)y=e^{3x}$、$y(0)=1$、$y'(0)=0$
与えられた微分方程式の一般解は$$y=\frac{1}{6} e^{3 x}+c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{-3 x}$$となる。初期条件より$$y(0)=\frac{1}{6}+c_{1}+c_{2}=1$$ $$y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}+2 c_{1}-3 c_{2}=0$$であるから連立して解くと
$$c_{1}=\frac{2}{5}, \quad c_{2}=\frac{13}{30}$$となる。よって $$y=\frac{1}{6} e^{3 x}+\frac{2}{5} e^{2 x}+\frac{13}{30} e^{-3 x} \quad \cdots (\text{答})$$である。
（２）$(D^2-2D-3)y=e^{-x}$、$y(0)=0$、$y'(0)=0$
$$(D^2-2D-3)y=(D+1)(D-3)y$$より、与えられた微分方程式の一般解は$$y=-\frac{1}{4} x e^{-x}+c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{3 x}$$となる。初期条件より$$y(0)=c_{1}+c_{2}=0$$ $$y^{\prime}(0)=-\frac{1}{4}-c_{1}+3 c_{2}=0$$であるから連立して解くと$$c_{1}=-\frac{1}{16}, \quad c_{2}=\frac{1}{16}$$となる。よって $$y=-\frac{1}{4} x e^{-x}-\frac{1}{16} e^{-x}+\frac{1}{16} e^{3 x} \quad \cdots (\text{答})$$である。
（３）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2y=x$、$y(0)=1$、$y'(0)=0$
$$y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2y=(D+1)(D-2)y$$より、与えられた微分方程式の一般解は$$y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)+c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{2 x}$$となる。初期条件より$$y(0)=\frac{1}{4}+c_{1}+c_{2}=0$$ $$y^{\prime}(0)=-\frac{1}{2}-c_{1}+2 c_{2}=1$$であるから連立して解くと$$c_{1}=-\frac{2}{3}, \quad c_{2}=\frac{5}{12}$$となる。よって $$y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{2}{3} e^{-x}+\frac{5}{12} e^{2 x} \quad \cdots (\text{答})$$である。
復習例題は設定していません。