前に戻る　トップへ戻る

問題7.2.5

次の２階の線形微分方程式を、$x=e^t$ という変数変換を用いて解け。

（１）$x^2{y}^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=(\log x{)}^2$

（２）$x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+2y=x^3$

《ポイント》

$x=e^t$ と置くと、$t=\log x$、${\displaystyle \frac{dy}{dt}}={\displaystyle \frac{dy}{dx}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}$ となるので、
$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle \frac{dy}{dt}}$$および$${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}{\displaystyle \frac{dy}{dt}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}$$が成り立ちます。以下の解答例ではこの関係式を利用します。

---

《解答例》

（１）$x^2{y}^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=(\log x{)}^2$

$x=e^t$ と置くと、微分方程式は$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-2\frac{dx}{dt}+y=t^2$$と書き換えられる。この微分方程式を$t$を変数として一般解を求めると$$y=t^2+4t+6+c_1{e}^t+c_{2}t{e}^t$$となる。これより、元の微分方程式の一般解は$$y=(\log x{)}^2+4\log x+6+c_{1}x+c_{2}x\log x\cdots (\text{答})$$である。ただし、$c_1$、$c_2$ $\in \mathbb{R}$ である。

 

（２）$x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+2y=x^3$

$x=e^t$ と置くと、微分方程式は$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-3\frac{dx}{dt}+2y=e^{3t}$$と書き換えられる。この微分方程式を$t$を変数として一般解を求めると$$y=c_1{e}^t+c_2{e}^{2t}+\frac{1}{2}{e}^{3t}$$となる。これより、元の微分方程式の一般解は$$y=c_{1}x+c_2{x}^2+\frac{1}{2}{x}^3\cdots (\text{答})$$である。ただし、$c_1$、$c_2$ $\in \mathbb{R}$ である。

 

---

復習例題は設定していません。

---

前に戻る　トップへ戻る