問題1.2.4
次の行列の組は可換かどうか調べよ。
（１）$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$
ポイント
２つの正方行列 $A$、$B$ が$$AB=BA$$を満たすとき、行列 $A$、$B$ は可換であると言います。$AB$ と $BA$ を計算して比較すれば可換かどうか調べることができます。
解答例
（１）
$A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right]$ と置くと、
$\begin{align}AB &= \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{lll}1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \end{align}$
$\begin{align}BA &= \left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{lll}0 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \end{align}$
よって $A$、$B$ は非可換である。
（２）
$A=\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right]$ と置くと、
$\begin{align}AB &= \left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0\end{array}\right] \end{align}$
$\begin{align}BA &= \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ a & 0 & 0\end{array}\right] \end{align}$
よって $a=c$ のとき $A$、$B$ は可換、 $a \ne c$ のとき非可換である。