問題1.2.3
次の行列 $A$ に対し、$A^n$ を計算せよ。
（１）$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \quad$
（３）$\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right]$
（４）$\left[\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & 1\end{array}\right]$
ポイント
一般に、行列の冪乗（$A^n$）は正方行列でしか行えません。3次以上の行列の場合は$n$乗計算が難しいのですが、本問の行列はいずれも特殊な形をしているので、$A^2$や$A^3$くらいまで計算すれば規則性が見えてくるはずです。本当は数学的帰納法を用いて証明した方が丁寧で良いのですが、帰納的に推測できる範囲なので解答例では答えのみ示します。
解答例
（１）
$A^{2}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
$A^{n}=O \quad(n \geq 3)$
（２）
$A^{3 k+1}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$
$A^{3 k+2}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$
$A^{3 k}=E$
（３）
$A^{n}=\left[\begin{array}{ccc}a^{n} & 0 & 0 \\ 0 & b^{n} & 0 \\ 0 & 0 & c^{n}\end{array}\right]$
（４）
$A^{n}=\left[\begin{array}{cc}a^{n} & \left(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1\right) b \\ 0 & 1\end{array}\right]$