問題1.3.1
次の行列の積を与えられた長方形分割を用いて求めよ。$$\left[\begin{array}{cc:cc}2 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 1 \\ \hdashline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc:cc}1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ \hdashline 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]$$
ポイント
行列の分割は次の場合に非常に有効です。
①ブロックに零行列が存在するときの行列の積の計算
②ブロックに零行列が存在するときの行列式の計算
③行列の行ベクトルまたは列ベクトルへの分割
教科書には「ブロックに零行列が存在するとき」と書いてありますが、「ブロックに単位行列が存在するとき」も同じくらい有効です。本問の行列には零行列と単位行列のブロックが含まれているので、ブロック行列に分割した方が計算を省力化できます。
解答例
$$\begin{align}
& \ \ \ \ \ \left[\begin{array}{ll:ll}
2 & 1 & 1 & 0 \\
4 & 3 & 0 & 1 \\
\hdashline 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll:ll}
1 & 1 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 0 & 1 \\
\hdashline 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right] \\
&= \left[\begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
3 & 2
\end{array}\right]}& {\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]} \\
{\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]} & {\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]}\end{array}\right] \\
&=\left[\begin{array}{cc:cc}
5 & 4 & 4 & 2 \\
13 & 10 & 5 & 3 \\
\hdashline 0 & 0 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right] \quad \cdots (\text{答})
\end{align}$$