問題1.3.4
$A_1$、$B_1$ は $m$ 次正方行列、$A_2$、$B_2$ は $n$ 次正方行列とする。$A_1$と$B_1$、$A_2$と$B_2$が可換であるならば、$A=\left[\begin{array}{cc}
A_{1} & O \\
O & A_{2}
\end{array}\right]$ と $B=\left[\begin{array}{cc}
B_{1} & O \\
0 & B_{2}
\end{array}\right]$ は可換であることを示せ。
ポイント
問題文中の仮定を用いて $AB=BA$ を示します。
解答例
$$\begin{aligned}
A B &=\left[\begin{array}{cc}
A_{1} & O \\
O & A_{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
B_{1} & O \\
0 & B_{2}
\end{array}\right] \\
&=\left[\begin{array}{cc}
A_{1} B_{1} & O \\
O & A_{2} B_{2}
\end{array}\right] \\
&=\left[\begin{array}{cc}
B_{1} A_{1} & O \\
O & B_{2} A_{2}
\end{array}\right] \\
&=B A
\end{aligned}$$となる。よって $A$ と $B$ は可換である。
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