問題1.4.1
次の連立1次方程式を行列を用いて表せ。また連立1次方程式の係数行列、拡大係数行列を求めよ。
（１）$\begin{cases} \begin{array}{c}2 x_{1}+3 x_{2}=-1 \\ x_{1}-x_{2}=2\end{array} \end{cases}$
（２）$\begin{cases} \begin{array}{rrrl} x_{1} & +2 x_{2} & -x_{3} & =2 \\ -x_{1} & & +3 x_{3} & =8 \\ & x_{2} & -2 x_{3} & =-4 \end{array} \end{cases}$
ポイント
$x_{1}$、$x_{2}$、$\cdots$、$x_{n}$ を未知数とする連立1次方程式$$\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m}
\end{array}\right.$$において、係数行列を$$A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right]$$と定め、拡大係数行列を$$\left[\begin{array}{ll}
A & \boldsymbol{b}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc:c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_{m}
\end{array}\right]$$と定めます。
解答例
（１）
$$\left[\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & -1
\end{array}\right] \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}
-1 \\
2
\end{array}\right]$$より、係数行列は$$\left[\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & -1
\end{array}\right]\quad \cdots (\text{答})$$
拡大係数行列は$$\left[\begin{array}{cc:c}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right]\quad \cdots (\text{答})$$となる。
（２）
$$\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
-1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & -2
\end{array}\right] \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}
2 \\
8 \\
-4
\end{array}\right]$$より、係数行列は$$\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
-1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & -2
\end{array}\right] \quad \cdots (\text{答})$$
拡大係数行列は$$\left[\begin{array}{ccc:c}
1 & 2 & -1 & 2 \\
-1 & 0 & 3 & 8 \\
0 & 1 & -2 & -4
\end{array}\right]\quad \cdots (\text{答})$$となる。