問題1.4.3
次の列ベクトル$\boldsymbol{a}$が列ベクトル$\boldsymbol{b}_{1}$、$\boldsymbol{b}_{2}$の1次結合で表すことができるか調べ、表されるならば1次結合で表せ。
（１）$\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{r}-2 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{b}_{1}=\left[\begin{array}{r}3 \\ -1\end{array}\right], \boldsymbol{b}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right]$
（２）$\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{b}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{b}_{2}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1\end{array}\right]$
ポイント
$$\boldsymbol{a}=x_{1}\boldsymbol{b}_{1}+x_{2}\boldsymbol{b}_{2}$$と置いて$x_{1}$、$x_{2}$を求めます。
解答例
（１）
$$x_{1}\left[\begin{array}{c}
3 \\
-1
\end{array}\right]+x_{2}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
-2 \\
1
\end{array}\right]$$と置き、これを解くと $x_{1}=-\dfrac{3}{4}$、$x_{2}=\dfrac{1}{4}$ となる。よって$$\boldsymbol{a}=-\dfrac{3}{4} b_{1}+\dfrac{1}{4} b_{2} \quad \cdots (\text{答})$$を得る。
（２）
$$x_{1}\left[\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
0
\end{array}\right]+x_{2}\left[\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right]$$を満たす実数$x_{1}$、$x_{2}$は存在しない。よって、列ベクトル$\boldsymbol{b}_{1}$、$\boldsymbol{b}_{2}$の1次結合で表せない。