問題1.4.4
次の列ベクトル$\boldsymbol{a}$が列ベクトル$\boldsymbol{b}_{1}$、$\boldsymbol{b}_{2}$の1次結合で表すことができるための$a$、$b$の条件を求めよ。
（１）$\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{b}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{b}_{2}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1\end{array}\right]$
（２）$\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{l}0 \\ a \\ b\end{array}\right], \boldsymbol{b}_{1}=\left[\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{b}_{2}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right]$
ポイント
$$\boldsymbol{a}=x_{1}\boldsymbol{b}_{1}+x_{2}\boldsymbol{b}_{2}$$などと置いて連立方程式を解きます。
解答例
（１）
$$x_{1}\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right]+x_{2}\left[\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
a \\
2 \\
3
\end{array}\right]$$と置くと、$$\begin{cases}
x_{1}+2 x_{2}=a & \cdots ① \\
2 x_{1}+3 x_{2}=2 & \cdots ② \\
x_{1}+x_{2}=3 & \cdots ③
\end{cases}$$となる。②、③より$$\begin{cases}
x_{1}=7 \\
x_{2}=-4
\end{cases}$$を得るので、$$a=-1 \quad \cdots (\text{答})$$と求められる。
（２）
$$x_{1}\left[\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
1
\end{array}\right]+x_{2}\left[\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
a \\
b
\end{array}\right]$$と置くと$$x_{1}=-2x_{2}$$を得るので、整理すると$$a=3b \quad \cdots (\text{答})$$と求められる。