問題1.4.6
$n$次の列ベクトル$\boldsymbol{u}_{1}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$、$\boldsymbol{v}_{1}$、$\cdots$、$\boldsymbol{v}_{s}$、$\boldsymbol{w}$について、$\boldsymbol{w}$は$\boldsymbol{v}_{1}$、$\cdots$、$\boldsymbol{v}_{s}$の１次結合で、また$\boldsymbol{v}_{1}$、$\cdots$、$\boldsymbol{v}_{s}$の各ベクトルは$\boldsymbol{u}_{1}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$の１次結合で表されるとき、$\boldsymbol{w}$は$\boldsymbol{u}_{1}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$の１次結合で表されることを示せ（問5の一般化）。
ポイント
代入するだけで解決します。仮定より、$$\begin{array}{l}
\boldsymbol{w}=b_{1} \boldsymbol{v}_{1}+\cdots+b_{s} \boldsymbol{v}_{s} \\
\boldsymbol{v}_{j}=a_{j 1} \boldsymbol{u}_{1}+\cdots+a_{j r} \boldsymbol{u}_{r}
\end{array}$$と置くと議論しやすくなります。
解答例
$$\begin{array}{l}
\boldsymbol{w}=b_{1} \boldsymbol{v}_{1}+\cdots+b_{s} \boldsymbol{v}_{s} \\
\boldsymbol{v}_{j}=a_{j 1} \boldsymbol{u}_{1}+\cdots+a_{j r} \boldsymbol{u}_{r}
\end{array}$$と置くと$$\begin{array}{r}\boldsymbol{w}=\left(b_{1} a_{11}+\cdots+b_{s} a_{s 1}\right) \boldsymbol{u}_{1}+\cdots \\ +\left(b_{1} a_{1 r}+\cdots+b_{s} a_{s r}\right) \boldsymbol{u}_{r}\end{array}$$と表せる。故に、$\boldsymbol{w}$は$\boldsymbol{u}_{1}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$の１次結合で表される。
よって示された。
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