問題2.2.4a
次の行列を簡約化せよ。また各々の行列の階数を求めよ。
（１）$\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$
（３）$\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right]$
（４）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0\end{array}\right]$
ポイント
次の条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たすような行列を「簡約な行列」と言います。
(Ⅰ) 行ベクトルのうちに零ベクトルがあれば、それは零ベクトルでないものよりも下にある
(Ⅱ) 零ベクトルでない行ベクトルの主成分は$1$である
(Ⅲ) 第$i$行の主成分をaはとすると、$j_{1}<j_{2}<j_{3}<\cdots$ となる。すなわち各行の主成分は下の行ほど右にある（各成分は右下がり)
(Ⅳ) 各行の主成分を含む列の他の成分は全て$0$である。すなわち第行の主成分が$a_{i j_{i}}$であるならば、第$j_{i}$列の以外の成分は全て$0$である
ある行列$A$に対して行基本変形を用いて条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たすような行列を与えることを「簡約化」といいます。行列$A$を簡約化して新たに作った行列$B$の零ベクトルでない行の個数を「$A$の階数（$\mathrm{rank}(A)$）」といいます。
解答例
（１）
$$\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$$ 1行目と2行目を入れ替えて$$\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]$$ $②+① \times(-2)$より、$$\color{red}{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]}$$よって、行列の階数は $\color{red}{2} \quad \cdots (\text{答})$
（２）
$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$$ $②+① \times(-2)$より、$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 4\end{array}\right]$$ $② \times(-1)$より、$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -4\end{array}\right]$$ $①+② \times(-2)$より、$$\color{red}{\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -4\end{array}\right]}$$よって、行列の階数は $\color{red}{2} \quad \cdots (\text{答})$
（３）
$$\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right]$$ 1行目と2行目を入れ替えて$$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$$ $② \times(-1)$より、$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -4\end{array}\right]$$ $①+② \times(-2)$より、$$\color{red}{\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]}$$よって、行列の階数は $\color{red}{2} \quad \cdots (\text{答})$
（４）
$$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0\end{array}\right]$$ $②+① \times(-1)$より、$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0\end{array}\right]$$ $③+② \times(-1)$より、$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 4 & 2\end{array}\right]$$ $③ \times \dfrac{1}{4}$より、$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{2}\end{array}\right]$$ $①+③ \times(-2)$ および $②+③ \times 3$ より、 $$\color{red}{\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{2}\end{array}\right]}$$よって、行列の階数は $\color{red}{3} \quad \cdots (\text{答})$