線形代数2.2.4a

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 問題2.2.4a

次の行列を簡約化せよ。また各々の行列の階数を求めよ。

（１）$\left[\begin{array}{ll}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

（２）$\left[\begin{array}{rrr}1& 2& -3\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$

（３）$\left[\begin{array}{rrr}0& 1& 0\\ 1& 2& -1\end{array}\right]$

（４）$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 2& 1\\ 2& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right]$

 

 ポイント

次の条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たすような行列を「簡約な行列」と言います。

(Ⅰ) 行ベクトルのうちに零ベクトルがあれば、それは零ベクトルでないものよりも下にある

(Ⅱ) 零ベクトルでない行ベクトルの主成分は$1$である

(Ⅲ) 第$i$行の主成分をaはとすると、$j_1<j_2<j_3<\cdots$ となる。すなわち各行の主成分は下の行ほど右にある（各成分は右下がり)

(Ⅳ) 各行の主成分を含む列の他の成分は全て$0$である。すなわち第行の主成分が$a_{i{j}_i}$であるならば、第$j_i$列の以外の成分は全て$0$である

ある行列$A$に対して行基本変形を用いて条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たすような行列を与えることを「簡約化」といいます。行列$A$を簡約化して新たに作った行列$B$の零ベクトルでない行の個数を「$A$の階数（$\mathrm{rank}(A)$）」といいます。

 

 解答例

（１）

$$\left[\begin{array}{rr}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$ 1行目と2行目を入れ替えて$$\left[\begin{array}{rr}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right]$$ $\mathrm{②}+\mathrm{①}\times (-2)$より、$$\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$よって、行列の階数は $2\cdots (\text{答})$

（２）

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$$ $\mathrm{②}+\mathrm{①}\times (-2)$より、$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 0& -1& 4\end{array}\right]$$ $\mathrm{②}\times (-1)$より、$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 0& 1& -4\end{array}\right]$$ $\mathrm{①}+\mathrm{②}\times (-2)$より、$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 5\\ 0& 1& -4\end{array}\right]$$よって、行列の階数は $2\cdots (\text{答})$

（３）

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 2& -1\end{array}\right]$$ 1行目と2行目を入れ替えて$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$ $\mathrm{②}\times (-1)$より、$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 0& 1& -4\end{array}\right]$$ $\mathrm{①}+\mathrm{②}\times (-2)$より、$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$よって、行列の階数は $2\cdots (\text{答})$

（４）

$$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 2& 1\\ 2& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right]$$ $\mathrm{②}+\mathrm{①}\times (-1)$より、$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& -3& -2\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right]$$ $\mathrm{③}+\mathrm{②}\times (-1)$より、$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& -3& -2\\ 0& 0& 4& 2\end{array}\right]$$ $\mathrm{③}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}$より、$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& -3& -2\\ 0& 0& 1& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right]$$ $\mathrm{①}+\mathrm{③}\times (-2)$ および $\mathrm{②}+\mathrm{③}\times 3$ より、 $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& 0& 1& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right]$$よって、行列の階数は $3\cdots (\text{答})$

 

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