問題2.2.4b
次の行列を簡約化せよ。また各々の行列の階数を求めよ。
（５）$\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]$
（６）$\left[\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -5 & -1\end{array}\right]$
（７）$\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 0\end{array}\right]$
ポイント
次の条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たすような行列を「簡約な行列」と言います。
(Ⅰ) 行ベクトルのうちに零ベクトルがあれば、それは零ベクトルでないものよりも下にある
(Ⅱ) 零ベクトルでない行ベクトルの主成分は$1$である
(Ⅲ) 第$i$行の主成分をaはとすると、$j_{1}<j_{2}<j_{3}<\cdots$ となる。すなわち各行の主成分は下の行ほど右にある（各成分は右下がり)
(Ⅳ) 各行の主成分を含む列の他の成分は全て$0$である。すなわち第行の主成分が$a_{i j_{i}}$であるならば、第$j_{i}$列の以外の成分は全て$0$である
ある行列$A$に対して行基本変形を用いて条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たすような行列を与えることを「簡約化」といいます。行列$A$を簡約化して新たに作った行列$B$の零ベクトルでない行の個数を「$A$の階数（$\mathrm{rank}(A)$）」といいます。
解答例
（５）
$$\left[\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]$$3行目を1行目に移動すると、$$\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]$$ $③ \times \dfrac{1}{2}$より、$$\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]$$ $②+③ \times(-2)$より、$$\color{red}{\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]}$$よって、行列の階数は $\color{red}{3} \quad \cdots (\text{答})$
（６）
$$\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -5 & -1 \end{array}\right]$$1行目と2行目を入れ替えて$$\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & -5 & -1 \end{array}\right]$$ $③+① \times(-1)$より、$$\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & -6 & -2 \end{array}\right]$$ $③+② \times 2$より、$$\color{red}{\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]}$$よって、行列の階数は $\color{red}{2} \quad \cdots (\text{答})$
（７）
$$\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 0\end{array}\right]$$ $②+① \times(-1)$ および $③+① \times(-1)$ より、$$\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & -2\end{array}\right]$$ $② \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)$より、$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & -4 & -2\end{array}\right]$$ $①+② \times(-3)$ および $③+② \times 4$ より、$$\color{red}{\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 0 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]}$$よって、行列の階数は $\color{red}{2} \quad \cdots (\text{答})$