問題2.3.1a
次の連立1次方程式を解け。
（１）$\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 6 \\ 1\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{rrr}-3 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]$
（３）$\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}5 \\ -4 \\ 3\end{array}\right]$
（４）$\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 9 \\ -1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$
ポイント
拡大係数行列を行基本変形によって簡約化します。解が不定となり未知数が残る場合は適当な文字で置きましょう。
解答例
（１）
$$\begin{array}{ccc:cl}
\hline 2 & -1 & 5 & -1 \\
0 & 2 & 2 & 6 \\
1 & 0 & 3 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 3 & 1 \\
2 & -1 & 5 & -1 \\
0 & 2 & 2 & 6 \\
\hline 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & -1 & -1 & -3 & ②+① \times (-2) \\
0 & 2 & 2 & 6 \\
\hline 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 3 & ② \times (-1) \\
0 & 2 & 2 & 6 \\
\hline 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & ③+② \times (-2) \\
\hline
\end{array}$$この最後の行列に対応する連立1次方程式は$$\left\{\begin{array}{rrrl}
x_{1}& &+3 x_{3} &=1 \\
& x_{2}&-x_{3} &=3 \\
\end{array}\right.$$であるから、解は$$\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{cc}
1 & -3 c \\
3 & – c \\
& c
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
0
\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}
-3 \\
-1 \\
1
\end{array}\right]\cdots (\text{答})$$となる。ただし$c$は任意の実数である。
（２）
$$\begin{array}{ccc:cl}
\hline-3 & 3 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 2 & 0 \\
\hline 1 & -1 & 2 & 0 \\
-3 & 3 & 1 & 1 \\
\hline 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 7 & 1 & ②+① \times 3 \\
\hline 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 / 7 & ② \times 1/7 \\
\hline 1 & -1 & 0 & -2 / 7 & ①+② \times (-2) \\
0 & 0 & 1 & 1 / 7 \\
\hline
\end{array}$$この最後の行列に対応する連立1次方程式は$$\left\{\begin{array}{rl}
x_{1} – x_{2}& &=-\dfrac{2}{7} \\
& x_{3} &=\dfrac{1}{7} \\
\end{array}\right.$$であるから、解は$$\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{rr}
-\dfrac{2}{7} & + c \\
& c \\
\dfrac{1}{7} &
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
-\dfrac{2}{7} \\
0 \\
\dfrac{1}{7}
\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]\cdots (\text{答})$$となる。ただし$c$は任意の実数である。
（３）
$$\begin{array}{ccc|cl}
\hline 1 & -1 & 1 & 5 \\
-1 & 0 & -3 & -4 \\
1 & 2 & 7 & 3 \\
\hline 1 & -1 & 1 & 5 \\
0 & -1 & -2 & 1 & ②+① \\
0 & 3 & 6 & -2 & ③+① \times (-1) \\
\hline 1 & -1 & 1 & 5 \\
0 & 1 & 2 & -1 & ② \times (-1) \\
0 & 3 & 6 & -2 \\
\hline 1 & – & 3 & -4 & ①+② \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & ③+② \times (-3) \\
\hline 1 & 0 & 3 & 0 & ①+③ \times 4 \\
0 & 1 & 2 & 0 & ②+③ \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}$$よって、係数行列と拡大行列の階数が異なるから与えられた連立1次方程式は解を持たない。
（４）
$$\begin{array}{ccc:l}
\hline 2 & -1 & 9 \\
-1 & 1 & -3 \\
1 & -3 & -3 \\
\hline 1 & -3 & -3 \\
-1 & 1 & -3 \\
2 & -1 & 9 \\
\hline 1 & -3 & -3 \\
0 & -2 & -6 & ②+① \\
0 & 5 & 15 & ③+① \times (-2) \\
\hline 1 & -3 & -3 \\
0 & 1 & 3 & ②+① \times (-2) \\
0 & 1 & 3 & ③ \times 1/5 \\
\hline 1 & 0 & 6 & ①+② \times 3 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & ③+② \times (-1) \\
\hline
\end{array}$$この最後の行列に対応する連立1次方程式は$$\left\{\begin{array}{rrrl}
x_{1}& &+6 x_{3} &=0 \\
& x_{2}&+3x_{3} &=0 \\
\end{array}\right.$$であるから、解は$$\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{r}
-6 c \\
-3 c \\
c
\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}
-6 \\
-3 \\
1
\end{array}\right]\cdots (\text{答})$$となる。ただし$c$は任意の実数である。