問題2.3.1b
次の連立1次方程式を解け。
（５）$\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -5 & 4 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ -6\end{array}\right]$
（６）$\left[\begin{array}{rrrrr}1 & -2 & 3 & 4 & 5 \\ -1 & 2 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & -6 & 1 & 4 & 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$
（７）$\left[\begin{array}{rrrrr}1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$
ポイント
拡大係数行列を行基本変形によって簡約化します。解が不定となり未知数が残る場合は適当な文字で置きましょう。
解答例
（５）
$$\begin{array}{ccccc:cl}
\hline 1 & 0 & 2 & -1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 3 & -5 & 4 & 1 & -6 \\
\hline 1 & 0 & 2 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -1 & 1 & -5 & -7 & ②+① \times (-2) \\
0 & 3 & -3 & 3 & 3 & -3 & ③+① \\
\hline 1 & 0 & 2 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -1 & 1 & -5 & -7 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 18 & 18 & ③+② \times (-3) \\
\hline 1 & 0 & 2 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -1 & 1 & -5 & -7 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & ③ \times 1/18 \\
\hline 1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1 & ①+③ \times (-2) \\
0 & 1 & -1 & 1 & 0 & -2 & ②+③ \times 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}$$この最後の行列に対応する連立1次方程式は$$\left\{\begin{array}{rrrrrl}
x_{1}& &+2 x_{3}&-x_{4} & &=1 \\
& x_{2}&-x_{3}&+x_{4}& &=-2 \\
& & & &x_{5} &=1 \\
\end{array}\right.$$であるから、$$\begin{align}\boldsymbol{x}&=\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 c_{1}&+c_{2} \\
-2 & +c_{1} & -c_{2} \\
& c_{1} & \\
& & c_{2} \\
1 & &
\end{array}\right] \\
&=\left[\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right]+c_{1}\left[\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right]\cdots (\text{答}) \end{align}$$となる。ただし$c$は任意の実数である。
（６）
$$\begin{array}{ccccc:cl}
\hline 1 & -2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\
-1 & 2 & 0 & -1 & -2 & 0 \\
3 & -6 & 1 & 4 & 7 & 1 \\
\hline 1 & -2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 3 & 3 & 1 & ②+① \\
0 & 0 & -8 & -8 & -8 & -2 & ③+① \times (-3) \\
\hline 1 & -2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 / 3 & ② \times 1/3 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 / 4 & ③ \times (-1/8) \\
\hline 1 & -2 & 0 & 1 & 2 & 0 & ①+② \times (-3) \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 / 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 / 12 & ③+② \times (-1) \\
\hline
\end{array}$$よって、係数行列と拡大行列の階数が異なるから与えられた連立1次方程式は解を持たない。
（７）
$$\begin{array}{ccccc:l}
\hline 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\
1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\
-1 & 2 & 2 & 1 & 4 \\
\hline 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\
0 & 2 & -3 & -3 & 1 & ②+① \times (-1) \\
0 & -2 & 5 & 5 & 1 & ③+① \\
\hline 1 & 0 & -3 & -2 & -1 & ①+③ \times 2 \\
0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 2 & ③+② \\
\hline 1 & 0 & -3 & -2 & -1 \\
0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ③ \times 1/2 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & ①+③ \times 3 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 4 & ②+③ \times 3 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 & ② \times 1/2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}$$この最後の行列に対応する連立1次方程式は$$\left\{\begin{array}{rrrrrl}
x_{1}& & &+x_{4} &+2x_{5} &=0 \\
& x_{2}& & &+2x_{5}&=0 \\
& &x_{3}&+x_{4}&+x_{5} &=0 \\
\end{array}\right.$$であるから、
$$\begin{align}\boldsymbol{x}&=\left[\begin{array}{rrr}
-c_{1} & – 2 c_{2} \\
& – 2 c_{2} \\
-c_{1} & – c_{2} \\
c_{1} & \\
& c_{2}
\end{array}\right] \\
&=c_{1}\left[\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{c}
-2 \\
-2 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right] \cdots (\text{答}) \end{align}$$となる。ただし$c_1$、$c_2$は任意の実数である。