問題2.3.2
次の連立１次方程式が解をもつための$a$、$b$の条件を求めよ。
（１）$\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ a \\ b\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & a\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\ 5 \\ 5\end{array}\right]$
ポイント
拡大係数行列を行基本変形によって簡約化します。解が不定となり未知数が残る場合は適当な文字で置きましょう。
解答例
（１）
$$\begin{array}{ccc:cl}
\hline 2 & 1 & 3 & 1 \\
0 & -1 & 1 & a \\
1 & 1 & 1 & b \\
\hline 1 & 1 & 1 & b \\
2 & 1 & 3 & 1 \\
0 & -1 & 1 & a \\
\hline 1 & 1 & 1 & b \\
0 & -1 & 1 & 1-2 b & ②+① \times (-2) \\
0 & -1 & 1 & a \\
\hline 1 & 1 & 1 & b \\
0 & 1 & -1 & 2 b-1 & ② \times (-1) \\
0 & -1 & 1 & a \\
\hline 1 & 0 & 2 & 1-b & ①+② \times (-1) \\
0 & 1 & -1 & 2 b-1 \\
0 & 0 & 0 & a+2 b-1 & ③+② \\
\hline
\end{array}$$これが解をもつためには係数行列と拡大行列の階数が一致することが必要である。よって$$a+2 b-1=0$$ $$\therefore a+2 b=1 \quad \cdots (\text{答})$$
（２）
$$\begin{array}{ccc:cl}
\hline 1 & -1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 5 \\
2 & -2 & a & 5 \\
\hline 1 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 1 & 3 & ②+① \times (-1) \\
0 & 0 & a-2 & 1 & ③+① \times (-2) \\
\hline
\end{array}$$これが解をもつためには係数行列と拡大行列の階数が一致することが必要である。よって$$a \ne 2 \quad \cdots (\text{答})$$