問題2.4.2
逆行列を用いて次の連立方程式を解け。
（１）$\left[\begin{array}{rrr}5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right]$
ポイント
両辺に逆行列を左から掛けることで解を取り出すことができます。簡約化の操作が必要なのであまり手間は変わりませんが、文字を多く含む連立方程式などでは計算が軽くなることがあります。
なお、以下では逆行列を求める過程を省略しています。
解答例
（１）
$A=\left[\begin{array}{rrr}5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1\end{array}\right]$ として、$A$の逆行列を求めると、$$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 4 \\
-1 & 1 & -1
\end{array}\right]$$となる。ここで、$A^{-1}$を方程式の両辺に左側から掛けて、$$\begin{aligned}
\boldsymbol{x} &=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 4 \\
-1 & 1 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
3
\end{array}\right] \\
&=\left[\begin{array}{c}
5 \\
11 \\
-2
\end{array}\right] \cdots (\text{答})
\end{aligned} $$を得る。
（２）
$A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$ として、$A$の逆行列を求めると、$$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
-1 & 1 & -1 \\
2 & -3 & 7
\end{array}\right]$$となる。ここで、$A^{-1}$を方程式の両辺に左側から掛けて、$$\begin{aligned}
\boldsymbol{x} &=\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 2 \\
-1 & 1 & -1 \\
2 & -3 & 7
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
a \\
b \\
c
\end{array}\right] \\
&=\left[\begin{array}{c}
a-b+2 c \\
-a+b-c \\
2 a-3 b+7 c
\end{array}\right] \cdots (\text{答})
\end{aligned} $$を得る。