問題2.4.3
$a \ne 0$ のとき次の行列の逆行列を求めよ。
（１）$\left[\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -a+1 \\ 2 & 3 & 2 a \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$
ポイント
右側に単位行列を付け足した $[A \mid E]$ という行列について、$A$の部分を簡約化すると自動的に$E$の部分が逆行列に変形されます。詳しい原理については教科書を参照してください。
解答例
（１）
$$\small \begin{array}{ccc:cccl}
\hline a & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & a & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & a & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & \dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{a} & 0 & 0 & ① \times \dfrac{1}{a} \\
0 & 1 & \dfrac{1}{a} & 0 & \dfrac{1}{a} & 0 & ② \times \dfrac{1}{a} \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{a} & ③ \times \dfrac{1}{a} \\
\hline 1 & 0 & \dfrac{1}{a} -\dfrac{1}{a^{2}} & \dfrac{1}{a} & -\dfrac{1}{a^{2}} & 0 & ①+② \times \left(-\dfrac{1}{a}\right) \\
0 & 1 & \dfrac{1}{a} & 0 & \dfrac{1}{a} & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{a} \\
\hline 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{a} & -\dfrac{1}{a^{2}} & -\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^{3}} & ①+③ \times \left(-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}\right) \\
0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{a} & -\dfrac{1}{a^{2}} & ②+③ \times \left(-\dfrac{1}{a}\right) \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{a} \\
\hline
\end{array}$$よって、求める逆行列は$$\small \left[\begin{array}{ccc}\dfrac{1}{a} & -\dfrac{1}{a^{2}} & -\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{a^{3}} \\ 0 & \dfrac{1}{a} & -\dfrac{1}{a^{2}} \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{a}\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$である。
（２）
$$\small \begin{array}{ccc:cccl}
\hline 1 & 1 & -a+1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 2 a & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 1 & 1 & -a+1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 a-2 & -2 & 1 & 0 & ②+① \times (-2) \\
0 & 0 & a & -1 & 0 & 1 & ③+① \times (-1) \\
\hline 1 & 0 & -5 a+3 & 3 & -1 & 0 & ①+② \times (-1) \\
0 & 1 & 4 a-2 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{a} & 0 & \dfrac{1}{a} & ③ \times \dfrac{1}{a} \\
\hline 1 & 0 & 0 & -2+\dfrac{3}{a} & -1 & 5-\dfrac{3}{a} & ①+③ \times (5a-3) \\
0 & 1 & 0 & 2-\dfrac{2}{a} & 1 & -4+\dfrac{2}{a} & ②+③ \times (-4a+2) \\
0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{a} & 0 & \dfrac{1}{a} \\
\hline
\end{array}$$よって、求める逆行列は$$\small \left[\begin{array}{ccc}
-2+\dfrac{3}{a} & -1 & 5-\dfrac{3}{a} \\
2-\dfrac{2}{a} & 1 & -4+\dfrac{2}{a} \\
-\dfrac{1}{a} & 0 & \dfrac{1}{a}
\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$である。