線形代数2.4.4

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 問題2.4.4

次を示せ。

（１）Aが正則ならば、A−1も正則で(A−1)−1=A

（２）Aが正則ならば、tAも正則で(tA)−1=t(A−1)
　（よってこの行列をtA−1と書いてよい）

（３）A、Bが正則ならば、ABも正則で(AB)−1=B−1A−1

 

 ポイント

単位行列を用いると上手く処理します。行列の成分の計算は一切不要です。

 

 解答例

（１）

A−1A=E であるから A−1 は A の逆行列である。故に A−1 は正則であり、(A−1)−1=Aが成り立つ。

□

（２）

A−1A=E について両辺の転置行列をとると、tA−1(A−1)=tE=Eとなる。故に tA は正則であり、(tA)−1=t(A−1)が成り立つ。

□

（３）

AB(B−1A−1)=AB(B−1A−1)=AA−1=Eより、AB は正則であり、(AB)−1=B−1A−1が成り立つ。

□

 

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