問題3.1.3
次の置換を互換の積に分解せよ。また各々の置換の符号を求めよ。
（１）$\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & 6 & 4\end{array}\right)$
（２）$\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 5 & 3 & 4\end{array}\right)$
（３）$\left(\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 6\end{array}\right)$
（４）$\left(\begin{array}{lllllll}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6
\end{array}\right)$
（５）$\left(\begin{array}{lllllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2\end{array}\right)$
ポイント
巡回置換の積に分解してから、それぞれの巡回置換を互換の積に分解します。詳しいやり方については教科書の例題3.1.2を確認して下さい。
解答例
（１）
巡回置換を互換の積に分解すると$$\left(\begin{array}{ll}
1 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 6
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right)$$となる。よって$$\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{3}=-1 \quad \cdots (\text{答}) $$
（２）
巡回置換を互換の積に分解すると$$\left(\begin{array}{ll}
1 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 5
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 2
\end{array}\right)$$となる。よって$$\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{4}=1 \quad \cdots (\text{答}) $$
（３）
巡回置換を互換の積に分解すると$$\left(\begin{array}{ll}
2 & 6
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
2 & 4
\end{array}\right)$$となる。よって$$\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{2}=1 \quad \cdots (\text{答}) $$
（４）
巡回置換は $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$、$2 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 2$ であり、これを互換の積に分解すると$$\begin{aligned}
&\left(\begin{array}{llll}
2 & 7 & 6 & 5
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 3 & 4
\end{array}\right) & \\
=\,&\left(\begin{array}{llll}
2 & 5
\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}
2 & 6
\end{array}\right)\\left(\begin{array}{ll}
2 & 7
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right)
\end{aligned}$$となる。よって$$\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{5}=-1 \quad \cdots (\text{答}) $$
（５）
巡回置換は $1 \rightarrow 3 \rightarrow 1$、$2 \rightarrow 4 \rightarrow 9 \rightarrow 2$、$5 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 5$、$6 \rightarrow 6$ であり、これを互換の積に分解すると$$\begin{aligned}
&\left(\begin{array}{lll}
5 & 8 & 7
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
2 & 4 & 9
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right) & \\
=\,&\left(\begin{array}{llll}
5 & 7
\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}
5 & 8
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
2 & 9
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
2 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right)
\end{aligned}$$となる。よって$$\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{5}=-1 \quad \cdots (\text{答}) $$