問題3.1.5
変数 $x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}$ の多項式 $f(x_{1}, \cdots, x_{n})$ と $\sigma \in S_n$ に対して$$\sigma f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=f\left(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right)$$と定義する。次の $\sigma$ と $f$ の組に対して $\sigma f$ を求めよ。
（１）$\sigma=(1 \ 2)$、$f=x_{1} x_{2}+2 x_{2}+3 x_{3}$
（２）$\sigma=(1 \ 2 \ 3)$、$f=x_{1} x_{2}+2 x_{2}+3 x_{3}$
（３）$\sigma=(2 \ 3)$、$f=f=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right)$
（４）$\sigma=(1 \ 2 \ 3)$、$f=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right)$
ポイント
置換した要素を多項式に代入するだけです。
解答例
（１）
$$\begin{align} \sigma f &=x_{2} x_{1}+2 x_{1}+3 x_{3} \\ &=x_{1} x_{2}+2 x_{1}+3 x_{3} \quad \cdots (\text{答}) \end{align}$$
（２）
$$\sigma f =x_{2} x_{3}+2 x_{3}+3 x_{1} \quad \cdots (\text{答})$$
（３）
$$\begin{align}
\sigma f &=\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right) \\
&=-\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right) \\
&=-f \quad \cdots (\text{答})
\end{align}$$
（４）
$$\begin{align}
\sigma f &=\left(x_{2}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{1}\right) \\
&=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right) \\
&=f \quad \cdots (\text{答})
\end{align}$$