線形代数3.1.8

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 問題3.1.7

問６、問７を用いて、$\sigma \in S_n$に対して$$\sigma \Delta (x_1,\cdots ,x_n)=(-1{)}^m\Delta (x_1,\cdots ,x_n)$$を示せ。ここで$m$は$\sigma$を互換の積に分解したときの互換の個数である。また、これを用いて$\mathrm{sgn}(\sigma )$は$\sigma$を互換の積で表したときの表し方によらないことを示せ。

 

 ポイント

$\sigma$を2通りの互換の積 $\sigma ={\sigma }_m{\sigma }_{m-1}\cdots {\sigma }_1$ および $\sigma ={\tau }_l{\tau }_{l-1}\cdots {\tau }_1$ に分解できると仮定し、$\mathrm{sgn}(\sigma )$が $l$ によらないことを示します。

 

 解答例

$$\sigma ={\sigma }_m{\sigma }_{m-1}\cdots {\sigma }_1$$と互換の積に分解すると$$\begin{array}{rl}\sigma \Delta & ={\sigma }_m{\sigma }_{m-1}\cdots {\sigma }_1\Delta \\ & =-({\sigma }_m\cdots {\sigma }_2\Delta )\\ & =(-1{)}^m\Delta \end{array}$$と整理できる。

また、$\sigma$が $l$ 個の互換の積$$\sigma ={\tau }_l{\tau }_{l-1}\cdots {\tau }_1$$に分解できるとすると、同様にして $\sigma \Delta =(-1{)}^l\Delta$ となるから、$$(-1{)}^m\Delta =(-1{)}^l\Delta$$を得る。いま、$\Delta \ne 0$ であるから、$$(-1{)}^m=(-1{)}^l$$が成り立つ。故に$\mathrm{sgn}(\sigma )$は$\sigma$を互換の積で表したときの表し方によらない。

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