線形代数3.1.8

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 問題3.1.7

問6、問7を用いて、σSnに対してσΔ(x1,,xn)=(1)mΔ(x1,,xn)を示せ。ここでmσを互換の積に分解したときの互換の個数である。また、これを用いてsgn(σ)σを互換の積で表したときの表し方によらないことを示せ。

 

 ポイント

σを2通りの互換の積 σ=σmσm1σ1 および σ=τlτl1τ1 に分解できると仮定し、sgn(σ)l によらないことを示します。

 

 解答例

σ=σmσm1σ1と互換の積に分解するとσΔ=σmσm1σ1Δ=(σmσ2Δ)=(1)mΔと整理できる。

また、σl 個の互換の積σ=τlτl1τ1に分解できるとすると、同様にして σΔ=(1)lΔ となるから、(1)mΔ=(1)lΔを得る。いま、Δ0 であるから、(1)m=(1)lが成り立つ。故にsgn(σ)σを互換の積で表したときの表し方によらない。

 


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