問題3.2.2d
次の行列式の値を求めよ。
（９）$\left|\begin{array}{rrrrr}1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & -1\end{array}\right|$
（１０）$\left|\begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right|$（$n$次）
（１１）$\left|\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 & 0\end{array}\right|$
ポイント
行列式の値はサラスの方法で求めても良いのですが、計算が煩雑です。簡約化して上三角行列に整理することで行列式を計算しやすくする工夫をしましょう。
解答例
（９）
$$\begin{aligned}
& \quad \,\, \left|\begin{array}{rrrrr}1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & -1\end{array}\right| \\
&=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 2 & -2 & 0
\end{array}\right| \begin{array}{l}
\\
②+① \times (-1) \\
③+① \times (-1) \\
④+① \\
⑤+① \times (-1)
\end{array} \\
&=-\left|\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 2 & -2 & 0 \\
\end{array}\right| \\
&=-\left|\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -2
\end{array}\right| \begin{array}{l}
\\
\\
\\
\\
⑤+② \times (-1) \\ +\, ③ \times (-1)+④
\end{array} \\
&=-1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (-2) \\
&=16 \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$
（１０）
$|A|=\left|\begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right|$ と置く。
$n=2m$ のとき、$1$行目と$n$行目、$2$行目と$(n-1)$行目、$\cdots$、$m$行目と$m+1$行目を入れ替えると、$$|A|=(-1)^m|E|=(-1)^m \quad \cdots (\text{答}) $$と求められる。
$n=2m+1$ のとき、$1$行目と$n$行目、$2$行目と$(n-1)$行目、$\cdots$、$m$行目と$m+2$行目を入れ替えると、$$|A|=(-1)^m|E|=(-1)^m \quad \cdots (\text{答}) $$と求められる。
（１１）
$$\begin{aligned}
& \quad \,\, \left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 1 & -2 & 0 & 0
\end{array}\right| \\
&=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 3 & -1 & -2 \\
0 & 1 & -2 & -1 & -1 \\
\end{array}\right| \begin{array}{l}
\\
\\
\\
④+① \times (-2) \\
⑤+① \times (-1)
\end{array} \\
&=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 3 & -2 & -4 \\
0 & 0 & -2 & -2 & -3
\end{array}\right| \begin{array}{l}
\\
\\
\\
④+② \times (-1) \\
⑤+② \times (-1)
\end{array} \\
&=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\
0 & 0 & 0 & -4 & -3
\end{array}\right| \begin{array}{l}
\\
\\
\\
④+③ \times (-3) \\
⑤+③ \times 2
\end{array} \\
&=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -19
\end{array}\right| \begin{array}{l}
\\
\\
\\
\\
⑤+④ \times 4
\end{array} \\
&=1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-19) \\
&=-19 \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$