線形代数3.4.1a

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 問題3.4.1a

次の行列の余因子行列を求めよ。またそれを用いて逆行列を求めよ。

（１）$\left[\begin{array}{rrr}1& -2& 2\\ 4& 1& -1\\ 2& -1& 3\end{array}\right]$

（２）$\left[\begin{array}{rrr}2& 4& 1\\ 1& -2& 1\\ 0& 5& -1\end{array}\right]$

（３）$\left[\begin{array}{rrr}2& -1& -2\\ -1& 0& 3\\ 3& -2& 5\end{array}\right]$

 

 ポイント

$n$次正方行列 $A=[a_{ij}]$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いて得られる $n-1$ 次正方行列を $A_{ij}$ と書きます。すなわち$$\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & a_{ij}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$という行列について赤字部分を取り去ったものを $A_{ij}$ と表します。このとき、元の行列$A$の行列式は$$|A|=(-1{)}^{1+j}{a}_{1j}\left|A_{1j}\right|+\cdots +(-1{)}^{n+j}{a}_{nj}\left|A_{nj}\right|$$と書き下すことができます。これを「$A$の行列式$|A|$の第 $j$ 列に関する余因子展開」と呼びます。余因子展開は列だけでなく行に対しても与えられます。

$n$次正方行列 $A=\left[a_{ij}\right]$ に対して $a_{ij}^{\ast }=(-1{)}^{i+j}\left|A_{ji}\right|$ とし、$\tilde{A}=\left[a_{ij}^{\ast }\right]$ で定義される行列を「$A$の余因子行列」と呼びます。余因子行列の求め方については教科書を参考にして下さい。

 

 解答例

（１）

$a_{11}^{\ast }=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 3\end{array}\right|=2$

$a_{12}^{\ast }=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ -1& 3\end{array}\right|=4$

$a_{13}^{\ast }=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& -1\end{array}\right|=0$

$a_{21}^{\ast }=(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 3\end{array}\right|=-14$

$a_{22}^{\ast }=(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{ll}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=-1$

$a_{23}^{\ast }=(-1{)}^{2+3}\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& -1\end{array}\right|=9$

$a_{31}^{\ast }=(-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& -1\end{array}\right|=-6$

$a_{32}^{\ast }=(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& -1\end{array}\right|=-3$

$a_{33}^{\ast }=(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 4& 1\end{array}\right|=9$

$|A|=18$ であるから、$$\begin{array}{l}\tilde{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 0\\ -14& -1& 9\\ -6& -3& 9\end{array}\right]\cdots (\text{答})\\ A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{18}}\tilde{A}\cdots (\text{答})\end{array}$$

（２）

$a_{11}^{\ast }=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 5& -1\end{array}\right|=-3$

$a_{12}^{\ast }=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 5& -1\end{array}\right|=9$

$a_{13}^{\ast }=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ -2& 1\end{array}\right|=6$

$a_{21}^{\ast }=(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right|=1$

$a_{22}^{\ast }=(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right|=-2$

$a_{23}^{\ast }=(-1{)}^{2+3}\left|\begin{array}{ll}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=-1$

$a_{31}^{\ast }=(-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 5\end{array}\right|=5$

$a_{32}^{\ast }=(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 5\end{array}\right|=-10$

$a_{33}^{\ast }=(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& -2\end{array}\right|=-8$

$|A|=3$ であるから、$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3& 9& 6\\ 1& -2& -1\\ 5& -10& -8\end{array}\right]\cdots (\text{答})$$ $$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\tilde{A}\cdots (\text{答})$$

（３）

$a_{11}^{\ast }=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}0& 3\\ -2& 5\end{array}\right|=6$

$a_{12}^{\ast }=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ -2& 5\end{array}\right|=9$

$a_{13}^{\ast }=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ 0& 3\end{array}\right|=-3$

$a_{21}^{\ast }=(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 3& 5\end{array}\right|=14$

$a_{22}^{\ast }=(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ 3& 5\end{array}\right|=16$

$a_{23}^{\ast }=(-1{)}^{2+3}\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 3\end{array}\right|=-4$

$a_{31}^{\ast }=(-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 3& -2\end{array}\right|=2$

$a_{32}^{\ast }=(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& -2\end{array}\right|=1$

$a_{33}^{\ast }=(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 0\end{array}\right|=-1$

$|A|=-6$ であるから、$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{ccc}6& 9& -3\\ 14& 16& -4\\ 2& 1& -1\end{array}\right]\cdots (\text{答})$$ $$A^{-1}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\tilde{A}\cdots (\text{答})$$

 

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