線形代数3.4.1a

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 問題3.4.1a

次の行列の余因子行列を求めよ。またそれを用いて逆行列を求めよ。

(1)[122411213]

(2)[241121051]

(3)[212103325]

 

 ポイント

n次正方行列 A=[aij] の第 i 行と第 j 列を取り除いて得られる n1 次正方行列を Aij と書きます。すなわち[a11a1ja1nai1aijainan1anjann]という行列について赤字部分を取り去ったものを Aij と表します。このとき、元の行列Aの行列式は|A|=(1)1+ja1j|A1j|++(1)n+janj|Anj|と書き下すことができます。これを「Aの行列式|A|の第 j 列に関する余因子展開」と呼びます。余因子展開は列だけでなく行に対しても与えられます。

n次正方行列 A=[aij] に対して aij=(1)i+j|Aji| とし、A~=[aij] で定義される行列を「Aの余因子行列」と呼びます。余因子行列の求め方については教科書を参考にして下さい。

 

 解答例

(1)

a11=(1)1+1|1113|=2

a12=(1)1+2|2213|=4

a13=(1)1+3|2211|=0

a21=(1)2+1|4123|=14

a22=(1)2+2|1223|=1

a23=(1)2+3|1421|=9

a31=(1)3+1|4211|=6

a32=(1)3+2|1221|=3

a33=(1)3+3|1241|=9

|A|=18 であるから、A~=[2401419639]()A1=118A~()

(2)

a11=(1)1+1|2151|=3

a12=(1)1+2|4151|=9

a13=(1)1+3|4121|=6

a21=(1)2+1|1101|=1

a22=(1)2+2|2101|=2

a23=(1)2+3|2111|=1

a31=(1)3+1|1205|=5

a32=(1)3+2|2405|=10

a33=(1)3+3|2412|=8

|A|=3 であるから、A~=[3961215108]() A1=13A~()

(3)

a11=(1)1+1|0325|=6

a12=(1)1+2|1225|=9

a13=(1)1+3|1203|=3

a21=(1)2+1|1335|=14

a22=(1)2+2|2235|=16

a23=(1)2+3|2213|=4

a31=(1)3+1|1032|=2

a32=(1)3+2|2132|=1

a33=(1)3+3|2110|=1

|A|=6 であるから、A~=[69314164211]() A1=16A~()

 


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