問題3.4.1a
次の行列の余因子行列を求めよ。またそれを用いて逆行列を求めよ。
（１）$\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{rrr}2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & -1\end{array}\right]$
（３）$\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 3 & -2 & 5\end{array}\right]$
ポイント
$n$次正方行列 $A=[a_{ij}]$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いて得られる $n-1$ 次正方行列を $A_{ij}$ と書きます。すなわち$$\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & \cdots & \color{red}{a_{1 j}} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \color{red}{\vdots} & & \vdots \\
\color{red}{a_{i1}} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{a_{i j}} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{a_{i n}} \\
\vdots & & \color{red}{\vdots} & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & \color{red}{a_{n j}} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]$$という行列について赤字部分を取り去ったものを $A_{ij}$ と表します。このとき、元の行列$A$の行列式は$$|A|=(-1)^{1+j} a_{1 j}\left|A_{1 j}\right|+\cdots+(-1)^{n+j} a_{n j}\left|A_{n j}\right|$$と書き下すことができます。これを「$A$の行列式$|A|$の第 $j$ 列に関する余因子展開」と呼びます。余因子展開は列だけでなく行に対しても与えられます。
$n$次正方行列 $A=\left[a_{i j}\right]$ に対して $a_{i j}^{*}=(-1)^{i+j}\left|A_{j i}\right|$ とし、$\tilde{A}=\left[a_{i j}^{*}\right]$ で定義される行列を「$A$の余因子行列」と呼びます。余因子行列の求め方については教科書を参考にして下さい。
解答例
（１）
$a_{11}^{*}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 3\end{array}\right|=2$
$a_{12}^{*}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}-2 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right|=4$
$a_{13}^{*}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}-2 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right|=0$
$a_{21}^{*}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right|=-14$
$a_{22}^{*}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right|=-1$
$a_{23}^{*}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 2 & -1 \end{array}\right|=9$
$a_{31}^{*}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{cc}4 & 2 \\ 1 & -1 \end{array}\right|=-6$
$a_{32}^{*}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\right|=-3$
$a_{33}^{*}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 4 & 1\end{array}\right|=9$
$|A|=18$ であるから、$$\begin{array}{l}
\tilde{A}=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 4 & 0 \\
-14 & -1 & 9 \\
-6 & -3 & 9
\end{array}\right] \cdots (\text{答}) \\
A^{-1}=\dfrac{1}{18} \tilde{A} \quad \cdots (\text{答})
\end{array}$$
（２）
$a_{11}^{*}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right|=-3$
$a_{12}^{*}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}4 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right|=9$
$a_{13}^{*}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}4 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right|=6$
$a_{21}^{*}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right|=1$
$a_{22}^{*}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right|=-2$
$a_{23}^{*}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right|=-1$
$a_{31}^{*}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 5\end{array}\right|=5$
$a_{32}^{*}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 0 & 5\end{array}\right|=-10$
$a_{33}^{*}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 1 & -2\end{array}\right|=-8$
$|A|=3$ であるから、$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 9 & 6 \\ 1 & -2 & -1 \\ 5 & -10 & -8\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$ $$A^{-1}=\dfrac{1}{3} \tilde{A} \quad \cdots (\text{答})$$
（３）
$a_{11}^{*}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -2 & 5\end{array}\right|=6$
$a_{12}^{*}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}-1 & -2 \\ -2 & 5\end{array}\right|=9$
$a_{13}^{*}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}-1 & -2 \\ 0 & 3\end{array}\right|=-3$
$a_{21}^{*}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{cc}-1 & 3 \\ 3 & 5\end{array}\right|=14$
$a_{22}^{*}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 3 & 5\end{array}\right|=16$
$a_{23}^{*}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right|=-4$
$a_{31}^{*}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 3 & -2\end{array}\right|=2$
$a_{32}^{*}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 3 & -2\end{array}\right|=1$
$a_{33}^{*}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right|=-1$
$|A|=-6$ であるから、$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{ccc}6 & 9 & -3 \\ 14 & 16 & -4 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$ $$A^{-1}=-\dfrac{1}{6} \widetilde{A} \quad \cdots (\text{答})$$