問題3.4.5
$A$が$n$次正方行列で、$\tilde{A}$が$A$の余因子行列ならば$$\operatorname{det}(\tilde{A})=\operatorname{det}(A)^{n-1}$$であることを示せ。
ポイント
定理3.4.1で紹介されている定義式 $A\tilde{A}=\operatorname{det}(A)E$ 用います。
解答例
$$A\tilde{A}=\operatorname{det}(A)E$$の両辺の行列式をとると$$\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(\tilde{A})=\operatorname{det}(A)^{n-1}$$である。
$\operatorname{det}(A) \ne 0$ ならば両辺を $\operatorname{det}(A)$ で割れば$$\operatorname{det}(\tilde{A})=\operatorname{det}(A)^{n-1}$$を得るので題意は示される。
また、$\operatorname{det}(A)=0$ のとき、$A=O$ ならば $\tilde{A}=O$ であるから $\operatorname{det}(\tilde{A})=0$ である。
$A \ne O$ ならば $A\tilde{A}=\operatorname{det}(A)E=O$ となり $A \ne O$ であるから $\tilde{A}$ は正則でない。よって $\operatorname{det}(\tilde{A})=0$ となり成立する。
以上より題意は示された。
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