問題3.5.2c
次の等式を示せ。
（４）$$\small \left|\begin{array}{rrrr}
0 & a & b & c \\
-a & 0 & d & e \\
-b & -d & 0 & f \\
-c & -e & -f & 0
\end{array}\right|=(a f-b e+c d)^{2}$$
解法の要点
ブロック零行列を利用すると計算がラクになります。
解答例
$$\begin{aligned}
& \quad \, \left|\begin{array}{rrrr}
0 & a & b & c \\
-a & 0 & d & e \\
-b & -d & 0 & f \\
-c & -e & -f & 0
\end{array}\right| \\
&=af\left|\begin{array}{cccc}
0 & 1 & \frac{b}{a} & \frac{c}{a} \\
-1 & 0 & \frac{d}{a} & \frac{e}{a} \\
-\frac{b}{f} & -\frac{d}{f} & 0 & 1 \\
-\frac{c}{f} & -\frac{e}{f} & -1 & 0
\end{array}\right| \\
&=af\left|\begin{array}{cccc}
0 & 1 & \frac{b}{a} & \frac{c}{a} \\
-1 & 0 & \frac{d}{a} & \frac{b}{a} \\
0 & 0 & 0 & 1-\frac{b e}{a f}+\frac{c e}{a f} \\
0 & 0 & -\left(1-\frac{b e}{a f}+\frac{c e}{a f}\right) & 0
\end{array}\right| \\
&=af\left|\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right| \left|\begin{array}{cc}0 & 1-\frac{b e}{a f}+\frac{c e}{a f} \\ -\left(1-\frac{b e}{a f}+\frac{c e}{a f}\right) & 0
\end{array}\right| \\
&=\left|\begin{array}{cccc} 0 & a f-b e+c d \\ -(a f-b e+c d) & 0\end{array}\right| \\
&=(a f-b e+c d)^{2} \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$