問題4.1.1
次の$W$はベクトル空間 $\boldsymbol{R}^{3}$ の部分空間かどうか調べよ。
（１）$W=\left\{\begin{array}{l|l}\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} & \begin{array}{r}x_{1}+x_{2}-x_{3}=0 \\ 3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0\end{array}\end{array}\right\}$
（２）$W=\left\{\begin{array}{l|l}\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} & \begin{array}{l}2 x_{1}-3 x_{2}+x_{3} \leqq 1 \\ 3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3} \leqq 1\end{array}\end{array}\right\}$
（３）$W=\left\{\begin{array}{l|l}\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} & \begin{array}{c}x_{3}=2 x_{1}-3 x_{2} \\ 3 x_{3}=x_{1}+2 x_{2}\end{array}\end{array}\right\}$
（４）$W=\left\{\begin{array}{l|l}\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} & \begin{array}{l}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0 \\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=1\end{array}\end{array}\right\}$
（５）$W=\left\{x \in R^{3} \mid 2 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=0\right\}$
（６）$W=\left\{\begin{array}{l|l}\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} & \begin{array}{l}x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\ x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=0\end{array}\end{array}\right\}$
ポイント
部分空間ベクトル空間$V$の部分集合$W$が$V$の和とスカラー倍によってベクトル空間となるとき、7$W$を$V$の部分空間といいます。
定理4.1.1にある通り、ベクトル空間$V$の部分集合$W$が部分空間である必要十分条件は次の(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)のすべてが満たされることです。
(ⅰ) $0 \in W$
(ⅱ) $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in W$ ならば $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} \in W$
(ⅲ) $\boldsymbol{u} \in W, c \in \boldsymbol{R}$ ならば $c \boldsymbol{u} \in W$
ベクトル空間 $\boldsymbol{R}^{3}$ の部分空間かどうか調べるには、この3条件を満足しているかどうかを確かめます。部分空間でないことを言うには、この3条件を満たさないような何らかの反例を示せばOKです。
解答例
（１）
$W=\left\{\begin{array}{l|l}\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} & \begin{array}{r}x_{1}+x_{2}-x_{3}=0 \\ 3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0\end{array}\end{array}\right\}$
$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right]$ と置くと$$W =\left\{x \in R^{3} \mid A x=0\right\}$$と書ける。以下、定理4.1.1の3条件を確かめる。
(ⅰ) $A \mathbf{0}=\mathbf{0}$ であるから、 $\mathbf{0} \in W$ である。
(ⅱ) $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in W$ とすると$$A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$$となるから、$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \in W$ である。
(ⅲ) $\boldsymbol{x} \in W$、$c \in \boldsymbol{R}$ とすると$$A(c \boldsymbol{x})=c(A \boldsymbol{x})=c \boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$$よって $c \boldsymbol{x} \in W$ である。
以上より、$W$はベクトル空間 $\boldsymbol{R}^{3}$ の部分空間である。
（２）
$W=\left\{\begin{array}{l|l}\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} & \begin{array}{l}2 x_{1}-3 x_{2}+x_{3} \leqq 1 \\ 3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3} \leqq 1\end{array}\end{array}\right\}$
$\left[\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right] \in W$、$-1 \in \boldsymbol{R}$ を考えると、$$-\left[\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] \notin W$$となるから定理4.1.1の条件(ⅲ)が成立しない。
よって、$W$はベクトル空間 $\boldsymbol{R}^{3}$ の部分空間ではない。
（３）
$W=\left\{\begin{array}{l|l}\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} & \begin{array}{c}x_{3}=2 x_{1}-3 x_{2} \\ 3 x_{3}=x_{1}+2 x_{2}\end{array}\end{array}\right\}$
$$\left\{\begin{align} x_{3}&=2 x_{1}-3 x_{2} \\ 3 x_{3}&=x_{1}+2 x_{2} \end{align}\right.$$ $$\therefore \left\{\begin{align} 2 x_{1}-3 x_{2}-x_{3}&=0 \\ x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}&=0 \end{align}\right.$$より、$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & -1 \\ 1 & 2 & -3\end{array}\right]$ と置くと$$W =\left\{x \in R^{3} \mid A x=0\right\}$$と書ける。以下、定理4.1.1の3条件を確かめる。
(ⅰ) $A \mathbf{0}=\mathbf{0}$ であるから、 $\mathbf{0} \in W$ である。
(ⅱ) $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in W$ とすると$$A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$$となるから、$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \in W$ である。
(ⅲ) $\boldsymbol{x} \in W$、$c \in \boldsymbol{R}$ とすると$$A(c \boldsymbol{x})=c(A \boldsymbol{x})=c \boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$$よって $c \boldsymbol{x} \in W$ である。
以上より、$W$はベクトル空間 $\boldsymbol{R}^{3}$ の部分空間である。
（４）
$W=\left\{\begin{array}{l|l}\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} & \begin{array}{l}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0 \\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=1\end{array}\end{array}\right\}$
零ベクトルは$$x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=1$$を満たさないため $W$ の元ではない
よって、定理4.1.1の条件(ⅰ)を満たさないため、$W$はベクトル空間 $\boldsymbol{R}^{3}$ の部分空間ではない。
（５）
$W=\left\{x \in R^{3} \mid 2 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=0\right\}$
$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -2\end{array}\right]$ と置くと$$W=\left\{\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} \mid A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\}$$と書ける。以下、定理4.1.1の3条件を確かめる。
(ⅰ) $A \mathbf{0}=\mathbf{0}$ であるから、 $\mathbf{0} \in W$ である。
(ⅱ) $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in W$ とすると$$A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$$となるから、$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \in W$ である。
(ⅲ) $\boldsymbol{x} \in W$、$c \in \boldsymbol{R}$ とすると$$A(c \boldsymbol{x})=c(A \boldsymbol{x})=c \boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$$よって $c \boldsymbol{x} \in W$ である。
以上より、$W$はベクトル空間 $\boldsymbol{R}^{3}$ の部分空間である。
（６）
$W=\left\{\begin{array}{l|l}\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} & \begin{array}{l}x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\ x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=0\end{array}\end{array}\right\}$
$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]$ と置くと$$W=\left\{\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^{3} \mid A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\}$$と書ける。以下、定理4.1.1の3条件を確かめる。
(ⅰ) $A \mathbf{0}=\mathbf{0}$ であるから、 $\mathbf{0} \in W$ である。
(ⅱ) $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in W$ とすると$$A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$$となるから、$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \in W$ である。
(ⅲ) $\boldsymbol{x} \in W$、$c \in \boldsymbol{R}$ とすると$$A(c \boldsymbol{x})=c(A \boldsymbol{x})=c \boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$$よって $c \boldsymbol{x} \in W$ である。
以上より、$W$はベクトル空間 $\boldsymbol{R}^{3}$ の部分空間である。